1721. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Datu dvojnu nejednačinu razdvajamo na sistem od dve nejednačine koje moraju biti istovremeno ispunjene:

\begin{cases} \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} > -2 \\ \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} \leqslant 1 \end{cases}

Prvo rešavamo levu nejednačinu $\frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} + 2 > 0 .$ Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{-x^2 + 5x - 7 + 2(x - 4)}{x - 4} > 0 \implies \frac{-x^2 + 7x - 15}{x - 4} > 0

Ispitujemo znak brojioca $-x^2 + 7x - 15 .$ Diskriminanta je $D = 7^2 - 4(-1)(-15) = 49 - 60 = -11 .$ Pošto je $D < 0$ i koeficijent uz $x^2$ negativan, brojilac je uvek negativan.

-x^2 + 7x - 15 < 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Da bi količnik bio pozitivan, a brojilac je uvek negativan, imenilac mora biti negativan:

x - 4 < 0 \implies x < 4

Sada rešavamo desnu nejednačinu $\frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 4} - 1 \leqslant 0 .$ Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{-x^2 + 5x - 7 - (x - 4)}{x - 4} \leqslant 0 \implies \frac{-x^2 + 4x - 3}{x - 4} \leqslant 0

Nule brojioca $-x^2 + 4x - 3 = 0$ su $x_1 = 1$ i $x_2 = 3 .$ Nula imenioca je $x = 4 .$ Formiramo tabelu znaka:

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 3)

x \in (3, 4)

x \in (4, +\infty)

-x^2+4x-3

-

+

-

-

x-4

-

-

-

+

količnik

+

-

+

-

Iz tabele vidimo da je izraz manji ili jednak nuli za:

x \in [1, 3] \cup (4, +\infty)

Konačno rešenje je presek rešenja prve nejednačine $x < 4$ i druge nejednačine $x \in [1, 3] \cup (4, +\infty) :$

x \in [1, 3]

297