1741. Kvadratne nejednačine

Da bi data jednačina bila kvadratna, koeficijent uz $x^2$ mora biti različit od nule.

m + 1 \neq 0 \implies m \neq -1

Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0 ,$ zbir i proizvod rešenja su:

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = \frac{m - 1}{m + 1} \\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{m}{m + 1} \end{aligned}

Izraz $x_1^2 + x_2^2$ možemo zapisati preko zbira i proizvoda rešenja:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo Vijetove formule u dati uslov $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 1 :$

\left(\frac{m - 1}{m + 1}\right)^2 - 2\frac{m}{m + 1} \geqslant 1

Kvadriramo prvi razlomak i svodimo na zajednički imenilac na levoj strani:

\frac{(m - 1)^2 - 2m(m + 1)}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Sređujemo brojilac:

\frac{m^2 - 2m + 1 - 2m^2 - 2m}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Nakon oduzimanja sličnih monoma dobijamo:

\frac{-m^2 - 4m + 1}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Prebacujemo $1$ na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

\frac{-m^2 - 4m + 1}{(m + 1)^2} - 1 \geqslant 0

Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{-m^2 - 4m + 1 - (m + 1)^2}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo brojilac:

\frac{-m^2 - 4m + 1 - (m^2 + 2m + 1)}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Nakon sređivanja dobijamo:

\frac{-2m^2 - 6m}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Pošto je imenilac $(m + 1)^2 > 0$ za svako $m \neq -1 ,$ znak razlomka zavisi samo od brojioca. Da bi razlomak bio nenegativan, brojilac mora biti nenegativan:

-2m^2 - 6m \geqslant 0

Delimo nejednačinu sa $-2$ (pri čemu se menja znak nejednakosti):

m^2 + 3m \leqslant 0

Faktorišemo kvadratni trinom izvlačenjem zajedničkog činioca:

m(m + 3) \leqslant 0

Na osnovu tabele znakova, izraz je manji ili jednak nuli na intervalu:

m \in [-3, 0]

Uzimajući u obzir početni uslov da je $m \neq -1 ,$ konačno rešenje dobijamo izbacivanjem te vrednosti iz intervala:

m \in [-3, -1) \cup (-1, 0]

310