1752.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

U jednačini x2+2mx+3(m−2)=0 x^2 + 2mx + 3(m - 2) = 0 odrediti vrednost realnog parametra m m tako da jednačina ima realna rešenja x1 x_1 i x2 x_2 i da za njih važi relacija x12+x22+5(x1+x2)<0. x_1^2 + x_2^2 + 5(x_1 + x_2) < 0 .

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna jednačina imala realna rešenja, njena diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli (D≥0 D \ge 0 ).

D=b2−4ac≥0D = b^2 - 4ac \ge 0

Računamo diskriminantu date jednačine.

D=(2m)2−4⋅1⋅3(m−2)=4m2−12m+24D = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3(m - 2) = 4m^2 - 12m + 24

Postavljamo uslov D≥0. D \ge 0 .

4m2−12m+24≥0  ⟹  m2−3m+6≥04m^2 - 12m + 24 \ge 0 \implies m^2 - 3m + 6 \ge 0

Analiziramo kvadratni trinom m2−3m+6. m^2 - 3m + 6 . Njegova diskriminanta je Δm=(−3)2−4⋅1⋅6=9−24=−15<0. \Delta_m = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0 . Pošto je koeficijent uz m2 m^2 pozitivan (a=1>0 a = 1 > 0 ), trinom je uvek pozitivan za svako realno m. m .

m∈Rm \in \mathbb{R}

Prema Vijetovim formulama za jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važi:

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo Vijetove formule na datu jednačinu.

x1+x2=−2m,x1x2=3(m−2)x_1 + x_2 = -2m, \quad x_1 x_2 = 3(m - 2)

Transformišemo izraz x12+x22 x_1^2 + x_2^2 kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo dobijeni identitet u zadati uslov x12+x22+5(x1+x2)<0. x_1^2 + x_2^2 + 5(x_1 + x_2) < 0 .

(x1+x2)2−2x1x2+5(x1+x2)<0(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) < 0

Uvrštavamo izraze sa parametrom m m dobijene iz Vijetovih formula.

(−2m)2−2⋅3(m−2)+5(−2m)<0(-2m)^2 - 2 \cdot 3(m - 2) + 5(-2m) < 0

Sređujemo nejednačinu.

4m2−6m+12−10m<0  ⟹  4m2−16m+12<04m^2 - 6m + 12 - 10m < 0 \implies 4m^2 - 16m + 12 < 0

Delimo nejednačinu sa 4.

m2−4m+3<0m^2 - 4m + 3 < 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma m2−4m+3=0. m^2 - 4m + 3 = 0 .

m1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅32=4±22  ⟹  m1=1,m2=3m_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies m_1 = 1, m_2 = 3

Rešavamo kvadratnu nejednačinu. Pošto je koeficijent uz m2 m^2 pozitivan, a traži se da izraz bude manji od nule, rešenje je interval između nula.

m∈(1,3)m \in (1, 3)

Konačno rešenje dobijamo u preseku uslova za realna rešenja (m∈R m \in \mathbb{R} ) i uslova zadate relacije (m∈(1,3) m \in (1, 3) ).

m∈(1,3)m \in (1, 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti