1752. Kvadratne nejednačine

Da bi kvadratna jednačina imala realna rešenja, njena diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli ( $D \ge 0$ ).

D = b^2 - 4ac \ge 0

Računamo diskriminantu date jednačine.

D = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3(m - 2) = 4m^2 - 12m + 24

Postavljamo uslov $D \ge 0 .$

4m^2 - 12m + 24 \ge 0 \implies m^2 - 3m + 6 \ge 0

Analiziramo kvadratni trinom $m^2 - 3m + 6 .$ Njegova diskriminanta je $\Delta_m = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0 .$ Pošto je koeficijent uz $m^2$ pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), trinom je uvek pozitivan za svako realno $m .$

m \in \mathbb{R}

Prema Vijetovim formulama za jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo Vijetove formule na datu jednačinu.

x_1 + x_2 = -2m, \quad x_1 x_2 = 3(m - 2)

Transformišemo izraz $x_1^2 + x_2^2$ kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo dobijeni identitet u zadati uslov $x_1^2 + x_2^2 + 5(x_1 + x_2) < 0 .$

(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) < 0

Uvrštavamo izraze sa parametrom $m$ dobijene iz Vijetovih formula.

(-2m)^2 - 2 \cdot 3(m - 2) + 5(-2m) < 0

Sređujemo nejednačinu.

4m^2 - 6m + 12 - 10m < 0 \implies 4m^2 - 16m + 12 < 0

Delimo nejednačinu sa 4.

m^2 - 4m + 3 < 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma $m^2 - 4m + 3 = 0 .$

m_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies m_1 = 1, m_2 = 3

Rešavamo kvadratnu nejednačinu. Pošto je koeficijent uz $m^2$ pozitivan, a traži se da izraz bude manji od nule, rešenje je interval između nula.

m \in (1, 3)

Konačno rešenje dobijamo u preseku uslova za realna rešenja ( $m \in \mathbb{R}$ ) i uslova zadate relacije ( $m \in (1, 3)$ ).

m \in (1, 3)

311