U jednačini x2−(m+1)x+m+4=0 odrediti realan parametar m tako da oba rešenja jednačine budu negativna.
REŠENJE ZADATKA
Da bi oba rešenja kvadratne jednačine ax2+bx+c=0 bila negativna, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna (rešenja su realna), zbir rešenja mora biti negativan i proizvod rešenja mora biti pozitivan.
⎩⎨⎧D≥0x1+x2<0x1⋅x2>0
Prvi uslov je da je diskriminanta veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu D=b2−4ac:
D=(−(m+1))2−4⋅1⋅(m+4)=m2+2m+1−4m−16=m2−2m−15
Rešavamo nejednačinu m2−2m−15≥0. Faktorišemo kvadratni trinom tražeći njegove korene (m1=5,m2=−3):
(m−5)(m+3)≥0
m∈(−∞,−3)
m∈(−3,5)
m∈(5,+∞)
m−5
−
−
+
m+3
−
+
+
(m−5)(m+3)
+
−
+
Na osnovu tabele znakova, pošto nam treba uslov veće ili jednako nuli, dobijamo prvi uslov za parametar m:
m∈(−∞,−3]∪[5,+∞)
Drugi uslov je da je zbir rešenja negativan. Koristimo Vijetovu formulu x1+x2=−ab:
−1−(m+1)<0⟹m+1<0⟹m<−1
Treći uslov je da je proizvod rešenja pozitivan. Koristimo Vijetovu formulu x1⋅x2=ac:
1m+4>0⟹m+4>0⟹m>−4
Sada tražimo presek sva tri dobijena uslova:
⎩⎨⎧m∈(−∞,−3]∪[5,+∞)m∈(−∞,−1)m∈(−4,+∞)
Presek drugog i trećeg uslova (m<−1 i m>−4) je interval m∈(−4,−1). Kada nađemo presek ovog intervala sa prvim uslovom, dobijamo konačno rešenje: