TEKST ZADATKA
Rešiti nejednačine (zadaci 302-304): ∣x2−6x+11∣⩾6
REŠENJE ZADATKA
Definišimo izraz pod apsolutnom vrednošću:
∣x2−6x+11∣={x2−6x+11,−(x2−6x+11),za x2−6x+11≥0za x2−6x+11<0 Analizirajmo kvadratni trinom x2−6x+11. Računamo njegovu diskriminantu:
D=b2−4ac=(−6)2−4⋅1⋅11=36−44=−8 Pošto je diskriminanta negativna (D<0) i koeficijent uz kvadratni član pozitivan (a=1>0), kvadratni trinom je uvek pozitivan za svako realno x:
x2−6x+11>0,∀x∈R Zbog toga možemo osloboditi izraz od apsolutne vrednosti bez promene znaka:
∣x2−6x+11∣=x2−6x+11 Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu:
x2−6x+11⩾6 Prebacujemo sve članove na levu stranu:
x2−6x+5⩾0 Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu x2−6x+5=0 kako bismo našli nule:
x1,2=2⋅1−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅5=26±36−20=26±4 Dobijamo nule kvadratnog trinoma:
x1=1,x2=5 Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku i formiramo tabelu znakova:
(x−1)(x−5)⩾0 x∈(−∞,1) x∈(1,5) x∈(5,+∞) (x−1)(x−5) Na osnovu tabele, biramo intervale gde je izraz pozitivan. Pošto je znak nejednakosti ⩾, uključujemo i same nule:
x∈(−∞,1]∪[5,+∞)