1751. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi oba rešenja kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ bila negativna, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna (rešenja su realna), zbir rešenja mora biti negativan i proizvod rešenja mora biti pozitivan.

\begin{cases} D \ge 0 \\ x_1 + x_2 < 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}

Prvi uslov je da je diskriminanta veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac :$

D = (-(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 4) = m^2 + 2m + 1 - 4m - 16 = m^2 - 2m - 15

Rešavamo nejednačinu $m^2 - 2m - 15 \ge 0 .$ Faktorišemo kvadratni trinom tražeći njegove korene ( $m_1 = 5 ,$ $m_2 = -3$ ):

(m - 5)(m + 3) \ge 0

m \in (-\infty, -3)

m \in (-3, 5)

m \in (5, +\infty)

m - 5

-

-

+

m + 3

-

+

+

(m - 5)(m + 3)

+

-

+

Na osnovu tabele znakova, pošto nam treba uslov veće ili jednako nuli, dobijamo prvi uslov za parametar $m :$

m \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)

Drugi uslov je da je zbir rešenja negativan. Koristimo Vijetovu formulu $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} :$

-\frac{-(m + 1)}{1} < 0 \implies m + 1 < 0 \implies m < -1

Treći uslov je da je proizvod rešenja pozitivan. Koristimo Vijetovu formulu $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} :$

\frac{m + 4}{1} > 0 \implies m + 4 > 0 \implies m > -4

Sada tražimo presek sva tri dobijena uslova:

\begin{cases} m \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) \\ m \in (-\infty, -1) \\ m \in (-4, +\infty) \end{cases}

Presek drugog i trećeg uslova ( $m < -1$ i $m > -4$ ) je interval $m \in (-4, -1) .$ Kada nađemo presek ovog intervala sa prvim uslovom, dobijamo konačno rešenje:

m \in (-4, -3]

306