1749.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog parametra p p jednačina (p−2)x2−2px+p−1=0 (p - 2)x^2 - 2px + p - 1 = 0 ima oba korena pozitivna?

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna jednačina ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 imala oba korena pozitivna, moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

{a≠0D≥0x1+x2>0x1⋅x2>0\begin{cases} a \neq 0 \\ D \ge 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}

Iz zadate jednačine (p−2)x2−2px+p−1=0 (p - 2)x^2 - 2px + p - 1 = 0 određujemo koeficijente:

a=p−2,b=−2p,c=p−1a = p - 2, \quad b = -2p, \quad c = p - 1

Prvi uslov je da jednačina bude kvadratna, odnosno da je koeficijent uz x2 x^2 različit od nule:

p−2≠0  ⟹  p≠2p - 2 \neq 0 \implies p \neq 2

Drugi uslov je da diskriminanta bude nenegativna, kako bi koreni bili realni:

D=b2−4ac≥0D = b^2 - 4ac \ge 0

Zamenjujemo koeficijente i računamo diskriminantu:

D=(−2p)2−4(p−2)(p−1)=4p2−4(p2−3p+2)=12p−8D = (-2p)^2 - 4(p - 2)(p - 1) = 4p^2 - 4(p^2 - 3p + 2) = 12p - 8

Rešavamo nejednačinu D≥0: D \ge 0 :

12p−8≥0  ⟹  12p≥8  ⟹  p≥2312p - 8 \ge 0 \implies 12p \ge 8 \implies p \ge \frac{2}{3}

Treći uslov je da zbir korena bude pozitivan. Prema Vijetovim formulama važi:

x1+x2=−ba=2pp−2>0x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2p}{p - 2} > 0

Pravimo tabelu znakova za izraz 2pp−2. \frac{2p}{p - 2} .

p∈(−∞,0)p \in (-\infty, 0)
p∈(0,2)p \in (0, 2)
p∈(2,+∞)p \in (2, +\infty)
2p2p
−-
++
++
p−2p - 2
−-
−-
++
2pp−2\frac{2p}{p - 2}
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je zbir korena pozitivan za:

p∈(−∞,0)∪(2,+∞)p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)

Četvrti uslov je da proizvod korena bude pozitivan. Prema Vijetovim formulama važi:

x1⋅x2=ca=p−1p−2>0x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p - 1}{p - 2} > 0

Pravimo tabelu znakova za izraz p−1p−2. \frac{p - 1}{p - 2} .

p∈(−∞,1)p \in (-\infty, 1)
p∈(1,2)p \in (1, 2)
p∈(2,+∞)p \in (2, +\infty)
p−1p - 1
−-
++
++
p−2p - 2
−-
−-
++
p−1p−2\frac{p - 1}{p - 2}
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je proizvod korena pozitivan za:

p∈(−∞,1)∪(2,+∞)p \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo presekom svih uslova:

{p≠2p≥23p∈(−∞,0)∪(2,+∞)p∈(−∞,1)∪(2,+∞)\begin{cases} p \neq 2 \\ p \ge \frac{2}{3} \\ p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \\ p \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \end{cases}

Presek uslova p≥23 p \ge \frac{2}{3} i p∈(−∞,0)∪(2,+∞) p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) daje p∈(2,+∞). p \in (2, +\infty) . Ovaj interval ujedno zadovoljava i preostale uslove, pa je konačno rešenje:

p∈(2,+∞)p \in (2, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti