TEKST ZADATKA
U jednačini x2+(m−2)x+1=0 odrediti realan parametar m tako: 1° da rešenja budu realna, 2° da izraz x12+x22 bude najmanji.
REŠENJE ZADATKA
Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna, diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli.
Računamo diskriminantu za datu jednačinu.
D=(m−2)2−4⋅1⋅1=m2−4m+4−4=m2−4m Postavljamo nejednačinu za uslov realnih rešenja.
m2−4m≥0⟹m(m−4)≥0 m∈(−∞,0) m∈(0,4) m∈(4,+∞) Na osnovu tabele znakova, određujemo vrednosti parametra m za koje su rešenja realna.
m∈(−∞,0]∪[4,+∞) Prema Vijetovim formulama za jednačinu ax2+bx+c=0 važi:
x1+x2=−ab=−(m−2)=2−m,x1⋅x2=ac=1 Transformišemo izraz x12+x22 kako bismo mogli da primenimo Vijetove formule.
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u transformisani izraz.
x12+x22=(2−m)2−2⋅1=4−4m+m2−2=m2−4m+2 Dobili smo kvadratnu funkciju f(m)=m2−4m+2. Njen minimum se nalazi u temenu parabole. Računamo m koordinatu temena.
mT=−2⋅1−4=2 Međutim, vrednost m=2 ne pripada domenu za koji su rešenja realna (m∈(−∞,0]∪[4,+∞)).
2∈/(−∞,0]∪[4,+∞) Pošto je parabola okrenuta nagore i simetrična u odnosu na pravu m=2, najmanja vrednost na dozvoljenom domenu se dostiže u tačkama koje su najbliže temenu, a to su granice intervala m=0 i m=4.
f(0)=02−4⋅0+2=2,f(4)=42−4⋅4+2=2 Zaključujemo da se najmanja vrednost izraza pri uslovu da su rešenja realna dostiže za m=0 ili m=4.
m∈{0,4}