Dvostruka nejednačina sa kvadratom binoma u imeniocu

Dati sistem nejednačina možemo razbiti na dve odvojene nejednačine koje moraju biti istovremeno zadovoljene:

\begin{cases} \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \geqslant 0 \\ \frac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9} \leqslant \frac{1}{2} \end{cases}

Primetimo da je imenilac kvadrat binoma $(x-3)^2 .$ On je uvek pozitivan za $x \neq 3 .$ Rešavamo prvu nejednačinu:

\frac{x(x + 1)}{(x - 3)^2} \geqslant 0

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 0)

x \in (0, 3)

x \in (3, +\infty)

x + 1

-

+

+

+

x

-

-

+

+

(x-3)^2

+

+

+

+

P(x)

+

-

+

+

Rešenje prve nejednačine je $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 3) \cup (3, +\infty) .$ Sada rešavamo drugu nejednačinu tako što sve prebacimo na levu stranu:

\frac{x^2 + x}{(x - 3)^2} - \frac{1}{2} \leqslant 0

Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{2(x^2 + x) - (x^2 - 6x + 9)}{2(x - 3)^2} \leqslant 0 \implies \frac{x^2 + 8x - 9}{2(x - 3)^2} \leqslant 0

Faktorišemo brojilac $x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1) .$ Nejednačina postaje:

\frac{(x + 9)(x - 1)}{2(x - 3)^2} \leqslant 0

x \in (-\infty, -9)

x \in (-9, 1)

x \in (1, 3)

x \in (3, +\infty)

x + 9

-

+

+

+

x - 1

-

-

+

+

(x-3)^2

+

+

+

+

Q(x)

+

-

+

+

Rešenje druge nejednačine je $x \in [-9, 1] .$ Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in ( (-\infty, -1] \cup [0, 3) \cup (3, +\infty) ) \cap [-9, 1]

Konačno rešenje sistema je:

x \in [-9, -1] \cup [0, 1]

Započni učenje

Privatni časovi

298.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci