1704. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Dati sistem dvostruke nejednačine možemo razbiti na dva dela koja moraju istovremeno biti ispunjena:

\begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 1} > \frac{1}{2} \\ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 1} < 1 \end{cases}

Primetimo da je imenilac $x^2 + 1$ uvek pozitivan za svako realno $x ,$ jer je $x^2 \ge 0 .$ To znači da možemo pomnožiti obe nejednačine sa $x^2 + 1$ bez promene znaka nejednakosti.

x^2 + 1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Rešavamo prvu nejednačinu množenjem sa $2(x^2 + 1) :$

2(x^2 - 4x + 4) > x^2 + 1 \\ 2x^2 - 8x + 8 > x^2 + 1 \\ x^2 - 8x + 7 > 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma $x^2 - 8x + 7 :$

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 7

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 7)

x \in (7, +\infty)

x^2 - 8x + 7

+

-

+

Rešenje prve nejednačine je:

x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu množenjem sa $x^2 + 1 :$

x^2 - 4x + 4 < x^2 + 1 \\ -4x + 4 < 1 \\ -4x < -3 \\ x > \frac{3}{4}

Sada tražimo presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in ((-\infty, 1) \cup (7, +\infty)) \cap (\frac{3}{4}, +\infty)

Konačno rešenje sistema je unija intervala koji zadovoljavaju oba uslova:

x \in (\frac{3}{4}, 1) \cup (7, +\infty)

298.d