Dvostruka nejednačina sa imeniocem x kvadrat + 1

Dati dvostruki sistem nejednačina možemo razbiti na dva dela koja moraju istovremeno biti ispunjena:

\begin{cases} \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} > 1 \\ \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2 \end{cases}

Primetimo da je imenilac $x^2 + 1$ uvek pozitivan za svako realno $x ,$ jer je $x^2 \ge 0 ,$ pa je $x^2 + 1 \ge 1 .$ Zbog toga možemo pomnožiti obe nejednačine sa $x^2 + 1$ bez promene znaka nejednakosti.

Rešavamo prvu nejednačinu:

3x^2 - 7x + 8 > x^2 + 1 \\ 2x^2 - 7x + 7 > 0

Ispitujemo diskriminantu kvadratne funkcije $2x^2 - 7x + 7 :$

D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 49 - 56 = -7

Pošto je diskriminanta $D < 0$ i koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a = 2 > 0$ ), kvadratna funkcija je uvek pozitivna. Dakle, prva nejednačina je ispunjena za svako realno $x :$

x \in \mathbb{R}

Rešavamo drugu nejednačinu:

3x^2 - 7x + 8 < 2(x^2 + 1) \\ 3x^2 - 7x + 8 < 2x^2 + 2 \\ x^2 - 7x + 6 < 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije $x^2 - 7x + 6 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 6

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 6)

x \in (6, +\infty)

x^2 - 7x + 6

+

-

+

Iz tabele vidimo da je druga nejednačina ispunjena za:

x \in (1, 6)

Konačno rešenje sistema je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in \mathbb{R} \cap (1, 6) \implies x \in (1, 6)

Započni učenje

Privatni časovi

298.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci