1706. Kvadratne nejednačine

Dati dvostruki sistem nejednačina možemo razdvojiti na dva dela koja moraju važiti istovremeno:

\begin{cases} \frac{2x}{x^2 + 1} \geqslant -1 \\ \frac{2x}{x^2 + 1} \leqslant 1 \end{cases}

Primetimo da je imenilac $x^2 + 1$ uvek pozitivan za svako realno $x ,$ jer je $x^2 \geqslant 0 ,$ pa je $x^2 + 1 \geqslant 1 .$ Zbog toga možemo pomnožiti obe nejednačine sa $x^2 + 1$ bez promene znaka nejednakosti.

x^2 + 1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Rešavamo prvu nejednačinu:

2x \geqslant -(x^2 + 1) \implies 2x \geqslant -x^2 - 1 \implies x^2 + 2x + 1 \geqslant 0

Izraz $x^2 + 2x + 1$ prepoznajemo kao kvadrat binoma:

(x + 1)^2 \geqslant 0

Kvadrat bilo kog realnog broja je uvek veći ili jednak nuli, pa je ova nejednačina tačna za svako realno $x :$

x \in \mathbb{R}

Rešavamo drugu nejednačinu:

2x \leqslant x^2 + 1 \implies 0 \leqslant x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 2x + 1 \geqslant 0

Izraz $x^2 - 2x + 1$ je takođe kvadrat binoma:

(x - 1)^2 \geqslant 0

Kao i u prethodnom slučaju, kvadrat je uvek nenegativan, pa je rešenje druge nejednačine takođe skup svih realnih brojeva:

x \in \mathbb{R}

Konačno rešenje sistema je presek rešenja obe nejednačine:

x \in \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \implies x \in \mathbb{R}

298.v