Dvostruka nejednačina: trinom između −2 i 4

Dati sistem nejednačina možemo zapisati kao konjunkciju dve nejednačine:

\begin{cases} x^2 - x - 2 \geqslant -2 \\ x^2 - x - 2 \leqslant 4 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu:

x^2 - x - 2 \geqslant -2 \iff x^2 - x \geqslant 0

Faktorišemo izraz na levoj strani:

x(x - 1) \geqslant 0

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 1)

x \in (1, +\infty)

x

-

+

+

x-1

-

-

+

x(x-1)

+

-

+

Rešenje prve nejednačine je unija intervala:

x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)

Sada rešavamo drugu nejednačinu:

x^2 - x - 2 \leqslant 4 \iff x^2 - x - 6 \leqslant 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma $x^2 - x - 6 = 0$ koristeći formulu:

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}

Nule su:

x_1 = -2, \quad x_2 = 3

Faktorišemo trinom:

(x + 2)(x - 3) \leqslant 0

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, 3)

x \in (3, +\infty)

x+2

-

+

+

x-3

-

-

+

(x+2)(x-3)

+

-

+

Rešenje druge nejednačine je interval:

x \in [-2, 3]

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap [-2, 3]

Presek intervala daje konačan rezultat:

x \in [-2, 0] \cup [1, 3]

298.b