Vietove formule: kada su rešenja negativna

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna i negativna, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna (kako bi rešenja bila realna), zbir rešenja mora biti negativan i proizvod rešenja mora biti pozitivan.

D \ge 0, \quad x_1 + x_2 < 0, \quad x_1 \cdot x_2 > 0

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a = 1, \quad b = -2(m - 1), \quad c = -4m

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ i proveravamo prvi uslov za realnost rešenja.

D = (-2(m - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m) = 4(m^2 - 2m + 1) + 16m = 4m^2 + 8m + 4 = 4(m + 1)^2

Pošto je kvadrat svakog realnog broja veći ili jednak nuli, uslov $D \ge 0$ je ispunjen za svaku vrednost parametra $m .$

4(m + 1)^2 \ge 0 \implies m \in \mathbb{R}

Primenjujemo Vijetovu formulu za zbir rešenja $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i postavljamo drugi uslov.

x_1 + x_2 = -\frac{-2(m - 1)}{1} = 2(m - 1) < 0

Rešavamo dobijenu linearnu nejednačinu.

m - 1 < 0 \implies m < 1

Primenjujemo Vijetovu formulu za proizvod rešenja $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ i postavljamo treći uslov.

x_1 \cdot x_2 = \frac{-4m}{1} = -4m > 0

Rešavamo nejednačinu za proizvod rešenja deljenjem sa negativnim brojem, pri čemu se znak nejednakosti menja.

m < 0

Konačno rešenje dobijamo u preseku sva tri uslova: $m \in \mathbb{R} ,$ $m < 1$ i $m < 0 .$

m \in (-\infty, 0)

Započni učenje

Privatni časovi

185

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci