Skraćivanje razlomka sa razlikom kubova x na 3 − 1

Da bismo skratili razlomak, prvo ćemo faktorisati brojilac. Prepoznajemo razliku kubova i primenjujemo formulu $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .$

x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Zatim faktorišemo imenilac $x^2 - 6x + 5 .$ Da bismo to uradili, računamo rešenja odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2 - 6x + 5 = 0$ koristeći formulu za kvadratnu jednačinu.

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente $a = 1 ,$ $b = -6$ i $c = 5$ u formulu.

x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

Sređujemo izraz pod korenom (diskriminantu).

x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Razdvajamo na dva slučaja i dobijamo realna rešenja kvadratne jednačine.

x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1

Koristeći formulu za rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) ,$ zapisujemo imenilac u faktorisanom obliku.

x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Sada zamenjujemo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak.

\frac{x^3 - 1}{x^2 - 6x + 5} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 5)(x - 1)}

Skraćujemo zajednički činilac $(x - 1)$ u brojiocu i imeniocu, uz uslov da je $x \neq 1$ i $x \neq 5 ,$ i dobijamo konačan pojednostavljen izraz.

\frac{x^2 + x + 1}{x - 5}

Započni učenje

Privatni časovi

189.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci