1502.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomke (zadaci 188-189):

x3−1x2−6x+5\frac{x^3 - 1}{x^2 - 6x + 5}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo skratili razlomak, prvo ćemo faktorisati brojilac. Prepoznajemo razliku kubova i primenjujemo formulu a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .

x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Zatim faktorišemo imenilac x2−6x+5. x^2 - 6x + 5 . Da bismo to uradili, računamo rešenja odgovarajuće kvadratne jednačine x2−6x+5=0 x^2 - 6x + 5 = 0 koristeći formulu za kvadratnu jednačinu.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente a=1, a = 1 , b=−6 b = -6 i c=5 c = 5 u formulu.

x1,2=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅52⋅1x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

Sređujemo izraz pod korenom (diskriminantu).

x1,2=6±36−202=6±162=6±42x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Razdvajamo na dva slučaja i dobijamo realna rešenja kvadratne jednačine.

x1=6+42=5ix2=6−42=1x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1

Koristeći formulu za rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) , zapisujemo imenilac u faktorisanom obliku.

x2−6x+5=(x−5)(x−1)x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Sada zamenjujemo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak.

x3−1x2−6x+5=(x−1)(x2+x+1)(x−5)(x−1)\frac{x^3 - 1}{x^2 - 6x + 5} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 5)(x - 1)}

Skraćujemo zajednički činilac (x−1) (x - 1) u brojiocu i imeniocu, uz uslov da je x≠1 x \neq 1 i x≠5, x \neq 5 , i dobijamo konačan pojednostavljen izraz.

x2+x+1x−5\frac{x^2 + x + 1}{x - 5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti