1503.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačinama: x2+kx+1=0 x^2 + kx + 1 = 0 i x2+x+k=0 x^2 + x + k = 0 ; odrediti parametar k k tako da jednačine imaju zajedničko rešenje.

REŠENJE ZADATKA

Neka je x0 x_0 zajedničko rešenje obe jednačine. Tada ono mora zadovoljavati i prvu i drugu jednačinu, pa formiramo sistem:

{x02+kx0+1=0x02+x0+k=0\begin{cases} x_0^2 + kx_0 + 1 = 0 \\ x_0^2 + x_0 + k = 0 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve eliminišemo kvadratni član x02: x_0^2 :

(x02−x02)+(kx0−x0)+(1−k)=0(x_0^2 - x_0^2) + (kx_0 - x_0) + (1 - k) = 0

Sređivanjem dobijenog izraza i grupisanjem članova uz x0 x_0 dobijamo:

(k−1)x0+(1−k)=0(k - 1)x_0 + (1 - k) = 0

Zapisujemo izraz 1−k 1 - k kao −(k−1) -(k - 1) i izvlačimo zajednički faktor (k−1): (k - 1) :

(k−1)(x0−1)=0(k - 1)(x_0 - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva moguća slučaja:

k−1=0ilix0−1=0k - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x_0 - 1 = 0

Analiziramo prvi slučaj kada je k−1=0, k - 1 = 0 , odnosno k=1. k = 1 . Zamenom ove vrednosti, obe početne jednačine postaju identične:

x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0

Pošto su jednačine potpuno iste, one imaju ista rešenja. U ovom slučaju diskriminanta je D=12−4⋅1⋅1=−3<0, D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 , pa jednačine imaju zajednička kompleksna rešenja. Uslov zadatka je ispunjen.

Analiziramo drugi slučaj kada je x0−1=0, x_0 - 1 = 0 , odnosno x0=1. x_0 = 1 . Zamenom ovog zajedničkog rešenja u prvu jednačinu dobijamo:

12+k⋅1+1=01^2 + k \cdot 1 + 1 = 0

Rešavanjem ove linearne jednačine računamo vrednost parametra k: k :

k+2=0  ⟹  k=−2k + 2 = 0 \implies k = -2

Za k=−2 k = -2 prva jednačina postaje x2−2x+1=0 x^2 - 2x + 1 = 0 sa rešenjem x=1, x = 1 , a druga x2+x−2=0 x^2 + x - 2 = 0 sa rešenjima x1=1 x_1 = 1 i x2=−2. x_2 = -2 . Obe jednačine imaju zajedničko rešenje x=1, x = 1 , pa je i ova vrednost parametra validna.

Konačno, objedinjavanjem oba slučaja, dobijamo tražene vrednosti parametra k: k :

k∈{−2,1}k \in \{-2, 1\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti