1496. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Faktorizujemo brojilac tako što izvlačimo zajednički činilac $x$ ispred zagrade:

x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4)

Izraz u zagradi prepoznajemo kao kvadrat binoma:

x(x^2 + 4x + 4) = x(x + 2)^2

Sada posmatramo imenilac. Da bismo ga rastavili na činioce, rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

3x^2 + 8x + 4 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine ( $D = b^2 - 4ac$ ):

D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 4}{6}

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine:

x_1 = -2 \quad \text{i} \quad x_2 = -\frac{2}{3}

Koristimo formulu za rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) :$

3x^2 + 8x + 4 = 3(x + 2)(x + \frac{2}{3}) = (x + 2)(3x + 2)

Zamenjujemo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak:

\frac{x(x + 2)^2}{(x + 2)(3x + 2)}

Postavljamo uslove definisanosti razlomka, imenilac mora biti različit od nule:

x \neq -2 \quad \text{i} \quad x \neq -\frac{2}{3}

Skraćujemo razlomak zajedničkim činiocem $x + 2$ i dobijamo konačno rešenje:

\frac{x(x + 2)}{3x + 2}

1496.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce