1738.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnih parametra m m i k k rešenja x1 x_1 i x2 x_2 jednačina zadovoljavaju date relacije (zadaci 312-315)? x2+(m+3)x+m+21=0, x^2 + (m + 3)x + m + 21 = 0 , x1x2+x2x1<1. \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} < 1 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važi:

x1+x2=−ba=−(m+3)x1x2=ca=m+21\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -(m + 3) \\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a} = m + 21 \end{aligned}

Transformišemo polaznu nejednačinu tako da možemo primeniti Vijetove formule:

x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2<1\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} < 1

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u transformisanu nejednačinu:

(−(m+3))2−2(m+21)m+21<1\frac{(-(m + 3))^2 - 2(m + 21)}{m + 21} < 1

Kvadriramo izraz i oslobađamo se zagrada u brojiocu:

m2+6m+9−2m−42m+21<1\frac{m^2 + 6m + 9 - 2m - 42}{m + 21} < 1

Sređujemo brojilac:

m2+4m−33m+21<1\frac{m^2 + 4m - 33}{m + 21} < 1

Prebacujemo 1 1 na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

m2+4m−33m+21−1<0\frac{m^2 + 4m - 33}{m + 21} - 1 < 0

Svodimo na zajednički imenilac:

m2+4m−33−(m+21)m+21<0\frac{m^2 + 4m - 33 - (m + 21)}{m + 21} < 0

Sređujemo novi brojilac:

m2+3m−54m+21<0\frac{m^2 + 3m - 54}{m + 21} < 0

Faktorišemo kvadratni trinom u brojiocu. Računamo korene jednačine m2+3m−54=0: m^2 + 3m - 54 = 0 :

m1,2=−3±32−4⋅1⋅(−54)2=−3±9+2162=−3±152m_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2}

Dobijamo rešenja za brojilac:

m1=6,m2=−9m_1 = 6, \quad m_2 = -9

Zapisujemo nejednačinu u faktorisanom obliku:

(m−6)(m+9)m+21<0\frac{(m - 6)(m + 9)}{m + 21} < 0

Za rešavanje ove nejednačine formiramo tabelu znakova. Kritične tačke su m=−21, m = -21 , m=−9 m = -9 i m=6. m = 6 .

m∈(−∞,−21)m \in (-\infty, -21)
m∈(−21,−9)m \in (-21, -9)
m∈(−9,6)m \in (-9, 6)
m∈(6,+∞)m \in (6, +\infty)
m+21m + 21
++
++
++
++
m+9m + 9
++
++
++
++
m−6m - 6
++
++
++
++
Znak izraza\text{Znak izraza}
++
++
++
++

Na osnovu tabele, izraz je strogo manji od nule na intervalima:

m∈(−∞,−21)∪(−9,6)m \in (-\infty, -21) \cup (-9, 6)

Napomena: Ako se zahteva da rešenja jednačine budu isključivo realni brojevi, diskriminanta mora biti nenegativna (D≥0 D \ge 0 ):

D=(m+3)2−4(m+21)=m2+2m−75≥0D = (m+3)^2 - 4(m+21) = m^2 + 2m - 75 \ge 0

Rešavanjem uslova za diskriminantu dobijamo:

m∈(−∞,−1−219]∪[−1+219,+∞)m \in (-\infty, -1 - 2\sqrt{19}] \cup [-1 + 2\sqrt{19}, +\infty)

Presek ovog uslova i rešenja iz Vijetovih formula daje m∈(−∞,−21). m \in (-\infty, -21) . Međutim, kako data relacija važi i za konjugovano-kompleksna rešenja (jer je vrednost izraza realna), najčešće se kao konačno rešenje prihvata:

m∈(−∞,−21)∪(−9,6)m \in (-\infty, -21) \cup (-9, 6)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti