Vijetove formule: zbir količnika rešenja manji od 1

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi:

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -(m + 3) \\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a} = m + 21 \end{aligned}

Transformišemo polaznu nejednačinu tako da možemo primeniti Vijetove formule:

\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} < 1

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u transformisanu nejednačinu:

\frac{(-(m + 3))^2 - 2(m + 21)}{m + 21} < 1

Kvadriramo izraz i oslobađamo se zagrada u brojiocu:

\frac{m^2 + 6m + 9 - 2m - 42}{m + 21} < 1

Sređujemo brojilac:

\frac{m^2 + 4m - 33}{m + 21} < 1

Prebacujemo $1$ na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

\frac{m^2 + 4m - 33}{m + 21} - 1 < 0

Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{m^2 + 4m - 33 - (m + 21)}{m + 21} < 0

Sređujemo novi brojilac:

\frac{m^2 + 3m - 54}{m + 21} < 0

Faktorišemo kvadratni trinom u brojiocu. Računamo korene jednačine $m^2 + 3m - 54 = 0 :$

m_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2}

Dobijamo rešenja za brojilac:

m_1 = 6, \quad m_2 = -9

Zapisujemo nejednačinu u faktorisanom obliku:

\frac{(m - 6)(m + 9)}{m + 21} < 0

Za rešavanje ove nejednačine formiramo tabelu znakova. Kritične tačke su $m = -21 ,$ $m = -9$ i $m = 6 .$

m \in (-\infty, -21)

m \in (-21, -9)

m \in (-9, 6)

m \in (6, +\infty)

m + 21

+

+

+

+

m + 9

+

+

+

+

m - 6

+

+

+

+

\text{Znak izraza}

+

+

+

+

Na osnovu tabele, izraz je strogo manji od nule na intervalima:

m \in (-\infty, -21) \cup (-9, 6)

Napomena: Ako se zahteva da rešenja jednačine budu isključivo realni brojevi, diskriminanta mora biti nenegativna ( $D \ge 0$ ):

D = (m+3)^2 - 4(m+21) = m^2 + 2m - 75 \ge 0

Rešavanjem uslova za diskriminantu dobijamo:

m \in (-\infty, -1 - 2\sqrt{19}] \cup [-1 + 2\sqrt{19}, +\infty)

Presek ovog uslova i rešenja iz Vijetovih formula daje $m \in (-\infty, -21) .$ Međutim, kako data relacija važi i za konjugovano-kompleksna rešenja (jer je vrednost izraza realna), najčešće se kao konačno rešenje prihvata:

m \in (-\infty, -21) \cup (-9, 6)

Započni učenje

Privatni časovi

313

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci