1737.

Kvadratne nejednačine

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine:

Svodimo na zajednički imenilac:

Sređujemo izraz u brojiocu:

Definišemo apsolutnu vrednost po definiciji:

Što se može zapisati kao:

**Prvi slučaj:** Pretpostavimo da je $x < \frac{3}{2} .$ Tada je $|2x - 3| = -2x + 3 .$ Zamenjujemo ovo u nejednačinu:

Sređujemo nejednačinu za prvi slučaj:

Množimo nejednačinu sa $-1$ (znak nejednakosti se menja):

Nalazimo nule brojioca i imenioca. Za imenilac imamo kvadratnu jednačinu čija su rešenja $x_1 = 1$ i $x_2 = 2 .$ Za brojilac računamo nule jednačine $x^2 - 2x - 1 = 0 :$

Zapisujemo nejednačinu u faktorisanom obliku kako bismo odredili znak:

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine $\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 - 3x + 2} > 0$ je:

Ovo rešenje moramo preseći sa uslovom prvog slučaja $x < \frac{3}{2} .$ Pošto je $1 < \frac{3}{2} < 2 ,$ dobijamo rešenje prvog slučaja:

**Drugi slučaj:** Pretpostavimo da je $x \ge \frac{3}{2} .$ Tada je $|2x - 3| = 2x - 3 .$ Zamenjujemo ovo u nejednačinu:

Sređujemo nejednačinu za drugi slučaj:

Množimo nejednačinu sa $-1$ i menjamo znak nejednakosti:

Faktorišemo brojilac i imenilac. Nule brojioca su $x = 1$ i $x = 5 ,$ a imenioca $x = 1$ i $x = 2 :$

S obzirom na uslov $x \ge \frac{3}{2} ,$ izraz $x - 1$ je uvek pozitivan (jer je $x \ge 1.5$), pa možemo skratiti razlomak sa $x - 1 :$

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine $\frac{x - 5}{x - 2} > 0$ je:

Presekom ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja $x \ge \frac{3}{2}$ dobijamo rešenje drugog slučaja:

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja prvog i drugog slučaja:

Spajanjem intervala $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ i $\left[\frac{3}{2}, 2\right)$ dobijamo konačan rezultat: