1736. Kvadratne nejednačine

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz pod apsolutnom vrednošću definišemo na sledeći način:

|x^2 - 5x + 5| = \begin{cases} x^2 - 5x + 5, & \text{za } x^2 - 5x + 5 \ge 0 \\ -(x^2 - 5x + 5), & \text{za } x^2 - 5x + 5 < 0 \end{cases}

Za rešavanje nejednačine oblika $|A| < B$ (gde je $B > 0$ ) možemo koristiti ekvivalentni sistem nejednačina:

-B < A < B

Primenom ovog pravila na našu nejednačinu dobijamo:

-1 < x^2 - 5x + 5 < 1

Ovo se svodi na rešavanje sistema od dve nejednačine:

\begin{cases} x^2 - 5x + 5 > -1 \\ x^2 - 5x + 5 < 1 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu:

x^2 - 5x + 5 > -1 \iff x^2 - 5x + 6 > 0

Koreni odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2 - 5x + 6 = 0$ su:

x_1 = 2, \quad x_2 = 3

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je kvadratni trinom pozitivan za:

x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)

Zatim rešavamo drugu nejednačinu:

x^2 - 5x + 5 < 1 \iff x^2 - 5x + 4 < 0

Koreni odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2 - 5x + 4 = 0$ su:

x_1 = 1, \quad x_2 = 4

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je kvadratni trinom negativan za:

x \in (1, 4)

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in \left( (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \right) \cap (1, 4)

Određujemo presek ovih intervala:

x \in (1, 2) \cup (3, 4)

1736.Kvadratne nejednačine