PrethodniSledeći
1668.

273

TEKST ZADATKA

Odrediti sve realne brojeve p p za koje je kvadratna funkcija f(x)=(p2+2p−3)x2−4px+p f(x) = (p^2 + 2p - 3)x^2 - 4px + p pozitivna za sve realne vrednosti promenljive x. x .

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c bila pozitivna za sve realne vrednosti x, x , moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz x2 x^2 mora biti pozitivan i diskriminanta mora biti negativna.

{a>0D<0\begin{cases} a > 0 \\ D < 0 \end{cases}

Iz date funkcije izdvajamo koeficijente a, a , b b i c. c .

a=p2+2p−3b=−4pc=p\begin{aligned} a &= p^2 + 2p - 3 \\ b &= -4p \\ c &= p \end{aligned}

Postavljamo prvi uslov a>0 a > 0 i rešavamo kvadratnu nejednačinu.

p2+2p−3>0p^2 + 2p - 3 > 0

Nalazimo korene odgovarajuće kvadratne jednačine p2+2p−3=0. p^2 + 2p - 3 = 0 .

p1,2=−2±4−4⋅1⋅(−3)2=−2±42  ⟹  p1=1,p2=−3p_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies p_1 = 1, p_2 = -3

Pošto je koeficijent uz p2 p^2 pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je izraz pozitivan van korena.

p∈(−∞,−3)∪(1,+∞)p \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

Sada postavljamo drugi uslov D<0 D < 0 i računamo diskriminantu D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=(−4p)2−4(p2+2p−3)p<0D = (-4p)^2 - 4(p^2 + 2p - 3)p < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu.

16p2−4p(p2+2p−3)<016p2−4p3−8p2+12p<0−4p3+8p2+12p<0\begin{aligned} 16p^2 - 4p(p^2 + 2p - 3) &< 0 \\ 16p^2 - 4p^3 - 8p^2 + 12p &< 0 \\ -4p^3 + 8p^2 + 12p &< 0 \end{aligned}

Delimo nejednačinu sa −4, -4 , pri čemu se znak nejednakosti menja, a zatim izvlačimo p p ispred zagrade.

p3−2p2−3p>0p(p2−2p−3)>0\begin{aligned} p^3 - 2p^2 - 3p &> 0 \\ p(p^2 - 2p - 3) &> 0 \end{aligned}

Faktorišemo kvadratni trinom p2−2p−3. p^2 - 2p - 3 . Njegovi koreni su 3 3 i −1. -1 .

p(p−3)(p+1)>0p(p - 3)(p + 1) > 0

Formiramo tabelu znakova da bismo rešili nejednačinu p(p−3)(p+1)>0. p(p - 3)(p + 1) > 0 .

p∈(−∞,−1)p \in (-\infty, -1)
p∈(−1,0)p \in (-1, 0)
p∈(0,3)p \in (0, 3)
p∈(3,+∞)p \in (3, +\infty)
p+1p+1
++
++
++
++
pp
++
++
++
++
p−3p-3
++
++
++
++
p(p−3)(p+1)p(p-3)(p+1)
++
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, biramo intervale gde je izraz pozitivan.

p∈(−1,0)∪(3,+∞)p \in (-1, 0) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja prvog uslova i drugog uslova.

p∈((−∞,−3)∪(1,+∞))∩((−1,0)∪(3,+∞))p \in \big((-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\big) \cap \big((-1, 0) \cup (3, +\infty)\big)

Nalazimo presek ova dva skupa.

p∈(3,+∞)p \in (3, +\infty)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu