Kvadratna funkcija pozitivna za svako realno x

Da bi kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$ bila pozitivna za sve realne vrednosti $x ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz $x^2$ mora biti pozitivan i diskriminanta mora biti negativna.

\begin{cases} a > 0 \\ D < 0 \end{cases}

Iz date funkcije izdvajamo koeficijente $a ,$ $b$ i $c .$

\begin{aligned} a &= p^2 + 2p - 3 \\ b &= -4p \\ c &= p \end{aligned}

Postavljamo prvi uslov $a > 0$ i rešavamo kvadratnu nejednačinu.

p^2 + 2p - 3 > 0

Nalazimo korene odgovarajuće kvadratne jednačine $p^2 + 2p - 3 = 0 .$

p_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies p_1 = 1, p_2 = -3

Pošto je koeficijent uz $p^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je izraz pozitivan van korena.

p \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

Sada postavljamo drugi uslov $D < 0$ i računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = (-4p)^2 - 4(p^2 + 2p - 3)p < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu.

\begin{aligned} 16p^2 - 4p(p^2 + 2p - 3) &< 0 \\ 16p^2 - 4p^3 - 8p^2 + 12p &< 0 \\ -4p^3 + 8p^2 + 12p &< 0 \end{aligned}

Delimo nejednačinu sa $-4 ,$ pri čemu se znak nejednakosti menja, a zatim izvlačimo $p$ ispred zagrade.

\begin{aligned} p^3 - 2p^2 - 3p &> 0 \\ p(p^2 - 2p - 3) &> 0 \end{aligned}

Faktorišemo kvadratni trinom $p^2 - 2p - 3 .$ Njegovi koreni su $3$ i $-1 .$

p(p - 3)(p + 1) > 0

Formiramo tabelu znakova da bismo rešili nejednačinu $p(p - 3)(p + 1) > 0 .$

p \in (-\infty, -1)

p \in (-1, 0)

p \in (0, 3)

p \in (3, +\infty)

p+1

+

+

+

+

p

+

+

+

+

p-3

+

+

+

+

p(p-3)(p+1)

+

+

+

+

Na osnovu tabele znakova, biramo intervale gde je izraz pozitivan.

p \in (-1, 0) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja prvog uslova i drugog uslova.

p \in \big((-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\big) \cap \big((-1, 0) \cup (3, +\infty)\big)

Nalazimo presek ova dva skupa.

p \in (3, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

273

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci