PrethodniSledeći
1669.

274.b

TEKST ZADATKA

Odrediti parametar m m tako da zbir kvadrata rešenja jednačine x2−(2m−1)x−4m−3=0 x^2 - (2m - 1)x - 4m - 3 = 0 bude minimalan.

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važi x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} i x1⋅x2=ca. x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} . Za datu jednačinu imamo:

x1+x2=2m−1x1⋅x2=−4m−3\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 2m - 1 \\ x_1 \cdot x_2 &= -4m - 3 \end{aligned}

Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenom vrednosti iz Vijetovih formula dobijamo funkciju koja zavisi od parametra m: m :

S(m)=(2m−1)2−2(−4m−3)S(m) = (2m - 1)^2 - 2(-4m - 3)

Sređivanjem ovog izraza dobijamo kvadratnu funkciju:

S(m)=4m2−4m+1+8m+6S(m)=4m2+4m+7\begin{aligned} S(m) &= 4m^2 - 4m + 1 + 8m + 6 \\ S(m) &= 4m^2 + 4m + 7 \end{aligned}

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika S(m)=am2+bm+c S(m) = am^2 + bm + c gde je a=4>0, a = 4 > 0 , pa funkcija ima minimum. Minimum se dostiže za m=−b2a. m = -\frac{b}{2a} .

m=−42⋅4m = -\frac{4}{2 \cdot 4}

Računamo vrednost parametra m: m :

m=−12m = -\frac{1}{2}

Proveravamo da li su za m=−12 m = -\frac{1}{2} rešenja realna, odnosno da li je diskriminanta D≥0: D \ge 0 :

D=(2m−1)2−4(−4m−3)D=4m2+12m+13D(−12)=4(−12)2+12(−12)+13=1−6+13=8>0\begin{aligned} D &= (2m - 1)^2 - 4(-4m - 3) \\ D &= 4m^2 + 12m + 13 \\ D\left(-\frac{1}{2}\right) &= 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 12\left(-\frac{1}{2}\right) + 13 = 1 - 6 + 13 = 8 > 0 \end{aligned}

Pošto je diskriminanta pozitivna, rešenja su realna. Tražena vrednost parametra je:

m=−12m = -\frac{1}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu