Vijetove formule: minimalan zbir kvadrata rešenja

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} .$ Za datu jednačinu imamo:

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 2m - 1 \\ x_1 \cdot x_2 &= -4m - 3 \end{aligned}

Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenom vrednosti iz Vijetovih formula dobijamo funkciju koja zavisi od parametra $m :$

S(m) = (2m - 1)^2 - 2(-4m - 3)

Sređivanjem ovog izraza dobijamo kvadratnu funkciju:

\begin{aligned} S(m) &= 4m^2 - 4m + 1 + 8m + 6 \\ S(m) &= 4m^2 + 4m + 7 \end{aligned}

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $S(m) = am^2 + bm + c$ gde je $a = 4 > 0 ,$ pa funkcija ima minimum. Minimum se dostiže za $m = -\frac{b}{2a} .$

m = -\frac{4}{2 \cdot 4}

Računamo vrednost parametra $m :$

m = -\frac{1}{2}

Proveravamo da li su za $m = -\frac{1}{2}$ rešenja realna, odnosno da li je diskriminanta $D \ge 0 :$

\begin{aligned} D &= (2m - 1)^2 - 4(-4m - 3) \\ D &= 4m^2 + 12m + 13 \\ D\left(-\frac{1}{2}\right) &= 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 12\left(-\frac{1}{2}\right) + 13 = 1 - 6 + 13 = 8 > 0 \end{aligned}

Pošto je diskriminanta pozitivna, rešenja su realna. Tražena vrednost parametra je:

m = -\frac{1}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

274.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci