PrethodniSledeći
1666.

275

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog parametra m m grafik funkcije y=x2+m(m+1)x+100 y = x^2 + m(m + 1)x + 100 dodiruje x x -osu?

REŠENJE ZADATKA

Grafik kvadratne funkcije dodiruje x x -osu ako i samo ako odgovarajuća kvadratna jednačina ima tačno jedno realno rešenje. To znači da diskriminanta mora biti jednaka nuli.

D=0D = 0

Iz date funkcije y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c određujemo koeficijente a, a , b b i c. c .

a=1b=m(m+1)c=100\begin{aligned} a &= 1 \\ b &= m(m + 1) \\ c &= 100 \end{aligned}

Zamenjujemo koeficijente u formulu za diskriminantu D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=(m(m+1))2−4⋅1⋅100D = (m(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100

Sređujemo izraz za diskriminantu.

D=m2(m+1)2−400D = m^2(m + 1)^2 - 400

Izjednačavamo diskriminantu sa nulom.

m2(m+1)2−400=0m^2(m + 1)^2 - 400 = 0

Prebacujemo 400 na desnu stranu.

m2(m+1)2=400m^2(m + 1)^2 = 400

Korenujemo jednačinu, što nam daje dva moguća slučaja.

m(m+1)=±20m(m + 1) = \pm 20

Rešavamo prvi slučaj kada je izraz jednak 20.

m(m+1)=20m2+m−20=0\begin{aligned} m(m + 1) &= 20 \\ m^2 + m - 20 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po m. m .

m1,2=−1±12−4⋅1⋅(−20)2=−1±812=−1±92m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}

Dobijamo prva dva rešenja za parametar m. m .

m1=4,m2=−5m_1 = 4, \quad m_2 = -5

Rešavamo drugi slučaj kada je izraz jednak -20.

m(m+1)=−20m2+m+20=0\begin{aligned} m(m + 1) &= -20 \\ m^2 + m + 20 &= 0 \end{aligned}

Računamo diskriminantu za ovu kvadratnu jednačinu.

Dm=12−4⋅1⋅20=1−80=−79D_m = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79

Pošto je diskriminanta manja od nule, ova jednačina nema realnih rešenja.

Dm<0  ⟹  m∉RD_m < 0 \implies m \notin \mathbb{R}

Konačno rešenje su vrednosti parametra m m iz prvog slučaja.

m∈{−5,4}m \in \{-5, 4\}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu