Dodir parabole i x-ose: diskriminanta jednaka nuli

Grafik kvadratne funkcije dodiruje $x$ -osu ako i samo ako odgovarajuća kvadratna jednačina ima tačno jedno realno rešenje. To znači da diskriminanta mora biti jednaka nuli.

D = 0

Iz date funkcije $y = ax^2 + bx + c$ određujemo koeficijente $a ,$ $b$ i $c .$

\begin{aligned} a &= 1 \\ b &= m(m + 1) \\ c &= 100 \end{aligned}

Zamenjujemo koeficijente u formulu za diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = (m(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100

Sređujemo izraz za diskriminantu.

D = m^2(m + 1)^2 - 400

Izjednačavamo diskriminantu sa nulom.

m^2(m + 1)^2 - 400 = 0

Prebacujemo 400 na desnu stranu.

m^2(m + 1)^2 = 400

Korenujemo jednačinu, što nam daje dva moguća slučaja.

m(m + 1) = \pm 20

Rešavamo prvi slučaj kada je izraz jednak 20.

\begin{aligned} m(m + 1) &= 20 \\ m^2 + m - 20 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $m .$

m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}

Dobijamo prva dva rešenja za parametar $m .$

m_1 = 4, \quad m_2 = -5

Rešavamo drugi slučaj kada je izraz jednak -20.

\begin{aligned} m(m + 1) &= -20 \\ m^2 + m + 20 &= 0 \end{aligned}

Računamo diskriminantu za ovu kvadratnu jednačinu.

D_m = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79

Pošto je diskriminanta manja od nule, ova jednačina nema realnih rešenja.

D_m < 0 \implies m \notin \mathbb{R}

Konačno rešenje su vrednosti parametra $m$ iz prvog slučaja.

m \in \{-5, 4\}

Započni učenje

Privatni časovi

275

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci