Nule kvadratne funkcije: dokaz da su uvek realne

Da bismo odredili nule funkcije, rešavamo jednačinu $f(x) = 0 :$

(x - 1)(x - 3) + m(x - 2)(x - 4) = 0

Množimo binome u zagradama:

(x^2 - 4x + 3) + m(x^2 - 6x + 8) = 0

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove uz iste stepene nepoznate $x :$

(1 + m)x^2 - (4 + 6m)x + (3 + 8m) = 0

Kako je po uslovu zadatka $m \neq -1 ,$ koeficijent uz $x^2$ je različit od nule, pa je dobijena jednačina kvadratna. Kvadratna jednačina ima realna rešenja ako i samo ako je njena diskriminanta nenegativna ( $D \ge 0$ ). Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-(4 + 6m))^2 - 4(1 + m)(3 + 8m)

Kvadriramo binom i množimo izraze:

D = (16 + 48m + 36m^2) - 4(3 + 8m + 3m + 8m^2)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 16 + 48m + 36m^2 - 12 - 44m - 32m^2

Nakon oduzimanja sličnih članova dobijamo:

D = 4m^2 + 4m + 4

Izvlačimo zajednički činilac:

D = 4(m^2 + m + 1)

Izraz u zagradi možemo svesti na kanonski oblik (dopuniti do potpunog kvadrata):

m^2 + m + 1 = \left(m + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left(m + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}

Kako je kvadrat svakog realnog broja nenegativan, važi $\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 ,$ pa je izraz u zagradi uvek strogo pozitivan. Zbog toga je i diskriminanta strogo pozitivna:

D = 4\left(\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right) > 0 \quad \text{za svako } m \in \mathbf{R}

Pošto je diskriminanta strogo pozitivna za svako $m \in \mathbf{R} ,$ kvadratna jednačina uvek ima dva različita realna rešenja, čime je dokazano da funkcija ima nule u skupu $\mathbf{R} .$

Započni učenje

Privatni časovi

276

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci