1709.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti realnog parametra m m tako da kvadratna nejednakost važi za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

4(m−8)x2−12x+m>04(m - 8)x^2 - 12x + m > 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c bila strogo pozitivna za svako x, x , moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti pozitivan i diskriminanta mora biti negativna.

a>0iD<0a > 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne funkcije:

a=4(m−8),b=−12,c=ma = 4(m - 8), \quad b = -12, \quad c = m

Prvi uslov je da je vodeći koeficijent veći od nule:

4(m−8)>0  ⟹  m−8>0  ⟹  m>84(m - 8) > 0 \implies m - 8 > 0 \implies m > 8

Drugi uslov je da je diskriminanta manja od nule. Računamo diskriminantu D: D :

D=b2−4ac=(−12)2−4⋅4(m−8)⋅mD = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4(m - 8) \cdot m

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=144−16m(m−8)=144−16m2+128mD = 144 - 16m(m - 8) = 144 - 16m^2 + 128m

Postavljamo uslov D<0 D < 0 i delimo celu nejednačinu sa -16 (pri čemu se menja smer znaka nejednakosti):

−16m2+128m+144<0/:(−16)  ⟹  m2−8m−9>0-16m^2 + 128m + 144 < 0 \quad / :(-16) \implies m^2 - 8m - 9 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu m2−8m−9=0 m^2 - 8m - 9 = 0 da bismo pronašli nule izraza:

m1,2=8±64−4⋅1⋅(−9)2=8±1002=8±102m_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}

Nule su:

m1=9,m2=−1m_1 = 9, \quad m_2 = -1
m∈(−∞,−1)m \in (-\infty, -1)
m∈(−1,9)m \in (-1, 9)
m∈(9,+∞)m \in (9, +\infty)
m2−8m−9m^2 - 8m - 9
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je D<0 D < 0 (odnosno m2−8m−9>0 m^2 - 8m - 9 > 0 ) za:

m∈(−∞,−1)∪(9,+∞)m \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty)

Sada tražimo presek oba uslova: m>8 m > 8 i m∈(−∞,−1)∪(9,+∞): m \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty) :

m∈(8,+∞)∩((−∞,−1)∪(9,+∞))m \in (8, +\infty) \cap ( (-\infty, -1) \cup (9, +\infty) )

Konačno rešenje je skup vrednosti parametra m m za koje je presek neprazan:

m∈(9,+∞)m \in (9, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti