Kvadratni trinom pozitivan za svako x: presek uslova

Da bi kvadratni trinom $ax^2 + bx + c$ bio strogo pozitivan za svako $x \in \mathbb{R} ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz kvadratni član mora biti pozitivan, a diskriminanta mora biti negativna.

a > 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Prvo postavljamo uslov za koeficijent uz $x^2 :$

2m^2 + m - 6 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $2m^2 + m - 6 = 0$ da bismo odredili nule polinoma:

m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}

Dobijamo nule $m_1 = -2$ i $m_2 = \frac{3}{2} .$ Kako je parabola okrenuta nagore, rešenje nejednačine je:

m \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)

Sada postavljamo uslov da je diskriminanta $D < 0 :$

D = (-2m\sqrt{2})^2 - 4(2m^2 + m - 6) \cdot 1 < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu:

8m^2 - 8m^2 - 4m + 24 < 0 \implies -4m + 24 < 0

Rešavamo linearnu nejednačinu po $m :$

-4m < -24 \implies m > 6

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka uslova za koeficijent $a$ i uslova za diskriminantu $D :$

m \in \left( (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \right) \cap (6, +\infty)

Presek ova dva skupa je:

m \in (6, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

293.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci