Parametar m: negativan trinom i slučaj m = 1

Da bi kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$ bila negativna za svako $x ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: koeficijent uz kvadratni član mora biti negativan, a diskriminanta mora biti manja od nule.

a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Prvo razmatramo slučaj kada izraz nije kvadratna funkcija, odnosno kada je $m - 1 = 0 .$ Ako je $m = 1 ,$ nejednakost postaje:

(1 - 1)x^2 - 2(1 + 1)x + 1 - 3 < 0 \implies -4x - 2 < 0

Linearna nejednakost $-4x - 2 < 0$ nije tačna za sve $x \in \mathbb{R} ,$ pa $m = 1$ nije rešenje. Sada postavljamo uslove za kvadratnu funkciju:

\begin{cases} m - 1 < 0 \\ D < 0 \end{cases}

Iz prvog uslova dobijamo:

m < 1

Računamo diskriminantu $D$ za kvadratni trinom $(m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 3 :$

D = [-2(m + 1)]^2 - 4(m - 1)(m - 3)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 4m + 3) = 4(m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4m - 3) = 4(6m - 2)

Postavljamo uslov $D < 0 :$

4(6m - 2) < 0 \implies 6m - 2 < 0 \implies 6m < 2 \implies m < \frac{1}{3}

Tražimo presek uslova $m < 1$ i $m < \frac{1}{3} :$

m \in (-\infty, 1) \cap (-\infty, \frac{1}{3})

Konačno rešenje za parametar $m$ je:

m < \frac{1}{3}

Započni učenje

Privatni časovi

293.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci