1714. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna funkcija oblika $ax^2 + bx + c$ je uvek pozitivna za svako $x$ ako i samo ako su ispunjena dva uslova: da je koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a > 0$ ) i da je diskriminanta negativna ( $D < 0$ ).

a > 0 \quad \text{i} \quad D < 0

U našem slučaju, koeficijent uz $x^2$ je $a = 1 ,$ što je uvek veće od nule. Dakle, preostaje da ispitamo uslov za diskriminantu.

a = 1 > 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne funkcije:

a = 1, \quad b = -2(4m - 1), \quad c = 15m^2 - 2m - 7

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ i postavljamo uslov $D < 0 :$

D = [-2(4m - 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15m^2 - 2m - 7) < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu:

4(16m^2 - 8m + 1) - 4(15m^2 - 2m - 7) < 0

Delimo celu nejednačinu sa 4 i grupišemo članove:

16m^2 - 8m + 1 - 15m^2 + 2m + 7 < 0

Dobijamo kvadratnu nejednačinu po parametru $m :$

m^2 - 6m + 8 < 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma $m^2 - 6m + 8 = 0$ koristeći formulu za rešenja kvadratne jednačine:

m_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}

Rešenja su:

m_1 = 2, \quad m_2 = 4

Analiziramo znak kvadratne funkcije $f(m) = m^2 - 6m + 8 .$ Pošto je koeficijent uz $m^2$ pozitivan, parabola je okrenuta otvorom nagore, pa je funkcija negativna između svojih nula.

m \in (-\infty, 2)

m \in (2, 4)

m \in (4, +\infty)

m-2

-

+

+

m-4

-

-

+

m^2-6m+8

+

-

+

Zaključujemo da je uslov $D < 0$ ispunjen za vrednosti parametra $m$ u intervalu:

m \in (2, 4)

293.ž