Parametar m: nejednačina tačna za svako realno x

Da bi kvadratni trinom $ax^2 + bx + c$ bio negativan za svako $x \in \mathbb{R} ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.

a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Identifikujemo koeficijente date nejednakosti:

a = m^2 - m - 2, \quad b = 2m, \quad c = 1

Prvi uslov je da je vodeći koeficijent negativan:

m^2 - m - 2 < 0

Računamo nule kvadratne funkcije $m^2 - m - 2 = 0$ koristeći formulu:

m_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}

Dobijamo nule:

m_1 = 2, \quad m_2 = -1

Rešenje nejednačine $m^2 - m - 2 < 0$ je interval između nula jer je parabola okrenuta nagore:

m \in (-1, 2)

Drugi uslov je da je diskriminanta negativna:

D = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m^2 - m - 2) \cdot 1 < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu:

4m^2 - 4m^2 + 4m + 8 < 0 \implies 4m + 8 < 0

Rešavamo linearnu nejednačinu po $m :$

4m < -8 \implies m < -2

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka uslova iz koraka 6 i koraka 9:

m \in (-1, 2) \cap (-\infty, -2)

Pošto ovi intervali nemaju zajedničkih tačaka, zaključujemo da ne postoji realna vrednost parametra $m$ za koju je nejednakost uvek tačna.

m \in \emptyset

Započni učenje

Privatni časovi

293.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci