PrethodniSledeći
1702.

293.d

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti realnog parametra m m tako da je kvadratna nejednakost tačna za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

(m2−m−2)x2+2mx+1<0(m^2 - m - 2)x^2 + 2mx + 1 < 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni trinom ax2+bx+c ax^2 + bx + c bio negativan za svako x∈R, x \in \mathbb{R} , moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.

a<0iD<0a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Identifikujemo koeficijente date nejednakosti:

a=m2−m−2,b=2m,c=1a = m^2 - m - 2, \quad b = 2m, \quad c = 1

Prvi uslov je da je vodeći koeficijent negativan:

m2−m−2<0m^2 - m - 2 < 0

Računamo nule kvadratne funkcije m2−m−2=0 m^2 - m - 2 = 0 koristeći formulu:

m1,2=−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−2)2⋅1=1±92m_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}

Dobijamo nule:

m1=2,m2=−1m_1 = 2, \quad m_2 = -1

Rešenje nejednačine m2−m−2<0 m^2 - m - 2 < 0 je interval između nula jer je parabola okrenuta nagore:

m∈(−1,2)m \in (-1, 2)

Drugi uslov je da je diskriminanta negativna:

D=b2−4ac=(2m)2−4(m2−m−2)⋅1<0D = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m^2 - m - 2) \cdot 1 < 0

Sređujemo izraz za diskriminantu:

4m2−4m2+4m+8<0  ⟹  4m+8<04m^2 - 4m^2 + 4m + 8 < 0 \implies 4m + 8 < 0

Rešavamo linearnu nejednačinu po m: m :

4m<−8  ⟹  m<−24m < -8 \implies m < -2

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka uslova iz koraka 6 i koraka 9:

m∈(−1,2)∩(−∞,−2)m \in (-1, 2) \cap (-\infty, -2)

Pošto ovi intervali nemaju zajedničkih tačaka, zaključujemo da ne postoji realna vrednost parametra m m za koju je nejednakost uvek tačna.

m∈∅m \in \emptyset

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu