1715. Kvadratne nejednačine

Da bi kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$ bila negativna za svako $x ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.

a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne funkcije:

a = m - 1, \quad b = -2m, \quad c = 3m + 1

Prvi uslov je da je vodeći koeficijent manji od nule:

m - 1 < 0 \implies m < 1

Drugi uslov je da je diskriminanta manja od nule. Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m - 1)(3m + 1)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4m^2 - 4(3m^2 + m - 3m - 1) = 4m^2 - 4(3m^2 - 2m - 1) = 4m^2 - 12m^2 + 8m + 4

Postavljamo uslov $D < 0 :$

-8m^2 + 8m + 4 < 0

Delimo nejednačinu sa $-4$ (pri čemu se menja smer znaka nejednakosti):

2m^2 - 2m - 1 > 0

Nalazimo nule kvadratne jednačine $2m^2 - 2m - 1 = 0 :$

m_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}

Rešenje nejednačine $2m^2 - 2m - 1 > 0$ su intervali van nula:

m \in \left( -\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right) \cup \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, +\infty \right)

Sada tražimo presek uslova $m < 1$ i dobijenog skupa za diskriminantu. Kako je $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366 ,$ a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366 ,$ presek je:

m \in \left( -\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right)

Konačno rešenje zadatka je skup vrednosti parametra $m$ za koje je nejednakost uvek tačna:

m \in \left( -\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right)

293.đ