Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da je kvadratna nejednakost (m−1)x2−2mx+3m+1<0 tačna za svako x∈R.
REŠENJE ZADATKA
Da bi kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c bila negativna za svako x, moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.
a<0iD<0
Identifikujemo koeficijente kvadratne funkcije:
a=m−1,b=−2m,c=3m+1
Prvi uslov je da je vodeći koeficijent manji od nule:
m−1<0⟹m<1
Drugi uslov je da je diskriminanta manja od nule. Računamo diskriminantu:
D=b2−4ac=(−2m)2−4(m−1)(3m+1)
Sređujemo izraz za diskriminantu:
D=4m2−4(3m2+m−3m−1)=4m2−4(3m2−2m−1)=4m2−12m2+8m+4
Postavljamo uslov D<0:
−8m2+8m+4<0
Delimo nejednačinu sa −4 (pri čemu se menja smer znaka nejednakosti):
2m2−2m−1>0
Nalazimo nule kvadratne jednačine 2m2−2m−1=0:
m1,2=2⋅22±4−4⋅2⋅(−1)=42±12=42±23=21±3
Rešenje nejednačine 2m2−2m−1>0 su intervali van nula:
m∈(−∞,21−3)∪(21+3,+∞)
Sada tražimo presek uslova m<1 i dobijenog skupa za diskriminantu. Kako je 21+3≈1.366, a 21−3≈−0.366, presek je:
m∈(−∞,21−3)
Konačno rešenje zadatka je skup vrednosti parametra m za koje je nejednakost uvek tačna: