Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da kvadratna nejednakost važi za svako x∈R:
x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7>0
REŠENJE ZADATKA
Kvadratna funkcija oblika ax2+bx+c je uvek pozitivna za svako x ako i samo ako su ispunjena dva uslova: da je koeficijent uz x2 pozitivan (a>0) i da je diskriminanta negativna (D<0).
a>0iD<0
U našem slučaju, koeficijent uz x2 je a=1, što je uvek veće od nule. Dakle, preostaje da ispitamo uslov za diskriminantu.
a=1>0
Identifikujemo koeficijente kvadratne funkcije:
a=1,b=−2(4m−1),c=15m2−2m−7
Računamo diskriminantu D=b2−4ac i postavljamo uslov D<0:
D=[−2(4m−1)]2−4⋅1⋅(15m2−2m−7)<0
Sređujemo izraz za diskriminantu:
4(16m2−8m+1)−4(15m2−2m−7)<0
Delimo celu nejednačinu sa 4 i grupišemo članove:
16m2−8m+1−15m2+2m+7<0
Dobijamo kvadratnu nejednačinu po parametru m:
m2−6m+8<0
Nalazimo nule kvadratnog trinoma m2−6m+8=0 koristeći formulu za rešenja kvadratne jednačine:
m1,2=26±36−32=26±2
Rešenja su:
m1=2,m2=4
Analiziramo znak kvadratne funkcije f(m)=m2−6m+8. Pošto je koeficijent uz m2 pozitivan, parabola je okrenuta otvorom nagore, pa je funkcija negativna između svojih nula.
m∈(−∞,2)
m∈(2,4)
m∈(4,+∞)
m−2
−
+
+
m−4
−
−
+
m2−6m+8
+
−
+
Zaključujemo da je uslov D<0 ispunjen za vrednosti parametra m u intervalu: