1716.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti realnog parametra m m tako da kvadratna nejednakost važi za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

(m+1)x2+4x+2m>0(m + 1)x^2 + 4x + 2m > 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni trinom ax2+bx+c ax^2 + bx + c bio pozitivan za svako x, x , moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent mora biti pozitivan (a>0 a > 0 ) i diskriminanta mora biti negativna (D<0 D < 0 ).

a=m+1,b=4,c=2ma = m + 1, \quad b = 4, \quad c = 2m

Prvi uslov je da je koeficijent uz x2 x^2 pozitivan:

m+1>0  ⟹  m>−1m + 1 > 0 \implies m > -1

Drugi uslov je da je diskriminanta strogo manja od nule, kako parabola ne bi sekla niti dodirivala x x -osu:

D=b2−4ac<0D = b^2 - 4ac < 0

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata u izraz za diskriminantu i računamo:

42−4(m+1)(2m)<016−8m(m+1)<016−8m2−8m<04^2 - 4(m + 1)(2m) < 0 \\ 16 - 8m(m + 1) < 0 \\ 16 - 8m^2 - 8m < 0

Delimo celu nejednakost sa −8 -8 (pri čemu se smer nejednakosti menja):

m2+m−2>0m^2 + m - 2 > 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije m2+m−2=0 m^2 + m - 2 = 0 koristeći formulu:

m1,2=−1±12−4⋅1⋅(−2)2⋅1=−1±32m1=1,m2=−2m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \\ m_1 = 1, \quad m_2 = -2
m∈(−∞,−2)m \in (-\infty, -2)
m∈(−2,1)m \in (-2, 1)
m∈(1,+∞)m \in (1, +\infty)
m+2m+2
−-
++
++
m−1m-1
−-
−-
++
P(m)P(m)
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je uslov D<0 D < 0 ispunjen za:

m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka prvog uslova m>−1 m > -1 i drugog uslova m∈(−∞,−2)∪(1,+∞): m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) :

m∈(−1,+∞)∩((−∞,−2)∪(1,+∞))=(1,+∞)m \in (-1, +\infty) \cap ((-\infty, -2) \cup (1, +\infty)) = (1, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti