Sistem nejednačina: x kvadrat − 4 i trinom sa nulom 4

Prvo rešavamo prvu nejednačinu $x^2 - 4 > 0 .$ Odredimo nule odgovarajuće kvadratne funkcije.

x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2

Analiziramo znak funkcije $f(x) = x^2 - 4 .$ Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta otvorom na gore.

x \in (-\infty, -2)

x = -2

x \in (-2, 2)

x = 2

x \in (2, +\infty)

x^2 - 4

+

0

–

0

+

Rešenje prve nejednačine je skup vrednosti gde je funkcija strogo pozitivna.

x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Zatim rešavamo drugu nejednačinu $x^2 - 3x - 4 < 0 .$ Računamo nule kvadratne funkcije pomoću formule.

x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}

Nule druge funkcije su:

x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4

Analiziramo znak funkcije $g(x) = x^2 - 3x - 4 .$ Parabola je takođe okrenuta otvorom na gore.

x \in (-\infty, -1)

x = -1

x \in (-1, 4)

x = 4

x \in (4, +\infty)

x^2 - 3x - 4

+

0

–

0

+

Rešenje druge nejednačine je skup vrednosti gde je funkcija strogo negativna.

x \in (-1, 4)

Konačno rešenje sistema je presek rešenja obe nejednačine.

x \in ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-1, 4)

Posmatrajući intervale, vidimo da se rešenja preklapaju samo u jednom delu.

x \in (2, 4)

294.v