1717.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem kvadratnih nejednačina: x2−4>0 x^2 - 4 > 0 i x2−3x−4<0. x^2 - 3x - 4 < 0 .

{x2−4>0x2−3x−4<0\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 3x - 4 < 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rešavamo prvu nejednačinu x2−4>0. x^2 - 4 > 0 . Odredimo nule odgovarajuće kvadratne funkcije.

x2−4=0  ⟹  x2=4  ⟹  x1=−2,x2=2x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2

Analiziramo znak funkcije f(x)=x2−4. f(x) = x^2 - 4 . Pošto je koeficijent uz x2 x^2 pozitivan, parabola je okrenuta otvorom na gore.

x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x=−2x = -2
x∈(−2,2)x \in (-2, 2)
x=2x = 2
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x2−4x^2 - 4
++
00
––
00
++

Rešenje prve nejednačine je skup vrednosti gde je funkcija strogo pozitivna.

x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Zatim rešavamo drugu nejednačinu x2−3x−4<0. x^2 - 3x - 4 < 0 . Računamo nule kvadratne funkcije pomoću formule.

x1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅(−4)2⋅1=3±9+162=3±52x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}

Nule druge funkcije su:

x1=3−52=−1,x2=3+52=4x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4

Analiziramo znak funkcije g(x)=x2−3x−4. g(x) = x^2 - 3x - 4 . Parabola je takođe okrenuta otvorom na gore.

x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x=−1x = -1
x∈(−1,4)x \in (-1, 4)
x=4x = 4
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
x2−3x−4x^2 - 3x - 4
++
00
––
00
++

Rešenje druge nejednačine je skup vrednosti gde je funkcija strogo negativna.

x∈(−1,4)x \in (-1, 4)

Konačno rešenje sistema je presek rešenja obe nejednačine.

x∈((−∞,−2)∪(2,+∞))∩(−1,4)x \in ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-1, 4)

Posmatrajući intervale, vidimo da se rešenja preklapaju samo u jednom delu.

x∈(2,4)x \in (2, 4)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti