Parnost kvadratne funkcije: kada je f parna

Funkcija je parna ako za svako $x$ iz njenog domena važi uslov $f(-x) = f(x) .$

Zamenom $-x$ umesto $x$ u izraz za kvadratnu funkciju dobijamo:

f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c

Izjednačavamo dobijeni izraz sa početnom funkcijom $f(x) :$

ax^2 - bx + c = ax^2 + bx + c

Sređivanjem ove jednačine (oduzimanjem $ax^2$ i $c$ sa obe strane) dobijamo:

-bx = bx \implies 2bx = 0

Da bi ova jednakost važila za svako realno $x ,$ koeficijent uz $x$ mora biti jednak nuli:

b = 0

Dakle, kvadratna funkcija je parna ako i samo ako je koeficijent uz linearni član jednak nuli, odnosno kada je oblika $f(x) = ax^2 + c .$

Sada proveravamo da li kvadratna funkcija može biti neparna. Funkcija je neparna ako za svako $x$ važi $f(-x) = -f(x) .$

Zamenom izraza u uslov za neparnost dobijamo:

ax^2 - bx + c = -(ax^2 + bx + c)

Oslobađanjem od zagrade i prebacivanjem svih članova na jednu stranu imamo:

ax^2 - bx + c = -ax^2 - bx - c \implies 2ax^2 + 2c = 0

Da bi ova jednakost važila za svako $x ,$ koeficijenti uz sve stepene moraju biti jednaki nuli:

2a = 0 \implies a = 0 \quad \text{i} \quad 2c = 0 \implies c = 0

Međutim, po definiciji kvadratne funkcije, vodeći koeficijent mora biti različit od nule ( $a \neq 0$ ).

Zbog toga uslov $a = 0$ ne može biti ispunjen, pa zaključujemo da kvadratna funkcija nikada ne može biti neparna.

277