Grafik parabole y = x na 2 + 4

Određujemo domen funkcije. Kvadratna funkcija je polinom i definisana je za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $y = 0 .$

x^2 + 4 = 0

Jednačina nema realnih rešenja jer je $x^2 \ge 0$ za svako realno $x .$ Prema tome, funkcija nema nule i njen grafik ne seče x-osu.

x^2 = -4 \implies x \notin \mathbb{R}

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = 0^2 + 4 = 4

Ispitujemo znak funkcije. Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan, dodavanjem broja 4 dobijamo strogo pozitivan izraz za svako $x .$

y > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Ispitujemo parnost funkcije računajući $y(-x) .$

y(-x) = (-x)^2 + 4 = x^2 + 4 = y(x)

Pošto je $y(-x) = y(x) ,$ funkcija je parna, što znači da je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Određujemo ekstremne vrednosti. Data funkcija je kvadratna oblika $y = ax^2 + bx + c ,$ gde je $a = 1 ,$ $b = 0$ i $c = 4 .$ Pošto je $a > 0 ,$ funkcija ima minimum.

a > 0 \implies \text{funkcija ima minimum}

Računamo x-koordinatu temena parabole $T(x_T, y_T)$ koristeći formulu $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0

Računamo y-koordinatu temena zamenom $x_T$ u funkciju.

y_T = 0^2 + 4 = 4

Teme parabole, koje predstavlja minimum funkcije, nalazi se u tački $T(0, 4) .$

T_{min}(0, 4)

Određujemo intervale monotonosti. Parabola sa $a > 0$ opada do temena, a zatim raste.

y \searrow \text{za } x \in (-\infty, 0), \quad y \nearrow \text{za } x \in (0, +\infty)

Ispitujemo asimptote. Kvadratna funkcija (polinom) nema ni vertikalne, ni horizontalne, ni kose asimptote.

Na osnovu svih dobijenih podataka skiciramo grafik. Grafik je parabola okrenuta nagore, sa temenom u tački $(0, 4) ,$ koja ne seče x-osu i simetrična je u odnosu na y-osu.

Započni učenje

Privatni časovi

267.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci