Grafik parabole y = x na 2 − 4

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom drugog stepena, funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Ispitujemo parnost funkcije računanjem $f(-x) .$

f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna, što znači da je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $y = 0 .$

x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2

Određujemo znak funkcije. Funkciju možemo faktorisati kao razliku kvadrata kako bismo lakše analizirali znak na intervalima.

y = (x-2)(x+2)

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, 2)

x \in (2, +\infty)

x+2

-

+

+

x-2

-

-

+

y

+

-

+

Na osnovu tabele, funkcija je pozitivna za $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ,$ a negativna za $x \in (-2, 2) .$

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y = 0^2 - 4 = -4

Presek sa y-osom je u tački $(0, -4) .$

Određujemo ekstremne vrednosti. Kvadratna funkcija je oblika $y = ax^2 + bx + c .$ U našem slučaju je $a = 1 ,$ $b = 0 ,$ $c = -4 .$

a > 0 \implies \text{funkcija ima minimum}

Računamo koordinate temena (minimuma) koristeći formule $x_T = -\frac{b}{2a}$ i $y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} .$

\begin{aligned} x_T &= -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \\ y_T &= \frac{4 \cdot 1 \cdot (-4) - 0^2}{4 \cdot 1} = -4 \end{aligned}

Teme parabole, koje predstavlja minimum funkcije, nalazi se u tački $T(0, -4) .$

Određujemo monotonost funkcije na osnovu x-koordinate temena i znaka koeficijenta $a .$

\begin{aligned} &y \searrow \text{ za } x \in (-\infty, 0) \\ &y \nearrow \text{ za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik funkcije je parabola okrenuta otvorom nagore, sa temenom u tački $(0, -4)$ i presecima sa x-osom u tačkama $(-2, 0)$ i $(2, 0) .$

Započni učenje

Privatni časovi

267.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci