Ispitivanje kvadratne funkcije: y = -x kvadrat/2 - 1

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom drugog stepena (kvadratna funkcija), funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

Određujemo nule funkcije rešavanjem jednačine $y = 0 .$

-\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0

Množimo jednačinu sa $-2 .$

x^2 = -2

Kvadrat realnog broja ne može biti negativan, pa jednačina nema realnih rešenja. Funkcija nema nule, odnosno njen grafik ne seče x-osu.

x \notin \mathbb{R}

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y = -\frac{1}{2}(0)^2 - 1 = -1

Presek sa y-osom je tačka $(0, -1) .$

Određujemo teme parabole $T(\alpha, \beta) .$ Za datu funkciju koeficijenti su $a = -\frac{1}{2} ,$ $b = 0$ i $c = -1 .$ Računamo x-koordinatu temena $\alpha .$

\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 0

Računamo y-koordinatu temena $\beta .$

\beta = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-1) - 0^2}{4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2}{-2} = -1

Teme parabole je tačka $T(0, -1) .$ Pošto je koeficijent $a < 0 ,$ parabola je okrenuta nadole i u temenu dostiže svoj maksimum.

y_{\max} = -1 \quad \text{za} \quad x = 0

Određujemo intervale monotonosti. Funkcija raste do x-koordinate temena, a zatim opada.

\begin{aligned} y \nearrow \quad &\text{za } x \in (-\infty, 0) \\ y \searrow \quad &\text{za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Određujemo znak funkcije. Pošto je parabola okrenuta nadole i njeno teme (maksimum) se nalazi ispod x-ose, funkcija je uvek negativna.

y < 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik je parabola okrenuta nadole sa temenom u tački $(0, -1) ,$ koja je ujedno i presek sa y-osom, i nigde ne seče x-osu.

Započni učenje

Privatni časovi

255.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci