Ispitivanje kvadratne funkcije: y = -x kvadrat + 1

Određujemo domen funkcije. Pošto je zadata funkcija polinom drugog stepena, ona je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Određujemo nule funkcije rešavanjem jednačine $y = 0 .$

-x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = -0^2 + 1 = 1

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna ( $y > 0$ ) kada je grafik iznad x-ose, a negativna ( $y < 0$ ) kada je ispod x-ose.

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 1)

x \in (1, +\infty)

-x^2+1

-

+

-

Određujemo ekstremne vrednosti (teme parabole). Kvadratna funkcija je oblika $y = ax^2 + bx + c ,$ gde su koeficijenti:

a = -1, \quad b = 0, \quad c = 1

Pošto je $a < 0 ,$ funkcija ima maksimum. Računamo x-koordinatu temena po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{0}{2(-1)} = 0

Računamo y-koordinatu temena po formuli $y_T = \frac{4ac - b^2}{4a}$ ili zamenom $x_T$ u funkciju.

y_T = \frac{4(-1)(1) - 0^2}{4(-1)} = \frac{-4}{-4} = 1

Teme parabole, koje predstavlja maksimum ove funkcije, nalazi se u tački:

T(0, 1)

Određujemo monotonost funkcije na osnovu temena i znaka koeficijenta $a .$

\begin{aligned} y \nearrow & \quad \text{za } x \in (-\infty, 0) \\ y \searrow & \quad \text{za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu dobijenih podataka (nule u $x = -1$ i $x = 1 ,$ presek sa y-osom i teme u tački $(0, 1)$ ), možemo skicirati grafik. Parabola je okrenuta otvorom nadole.

Započni učenje

Privatni časovi

255.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci