Ispitivanje kvadratne funkcije: y = x kvadrat/4 - 4

Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Nule funkcije. Rešavamo jednačinu $y = 0$ da bismo našli preseke sa x-osom.

\frac{1}{4}x^2 - 4 = 0

Množimo jednačinu sa 4.

x^2 - 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu i dobijamo nule funkcije.

x_1 = -4, \quad x_2 = 4

Presek sa y-osom. Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

y(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 4 = -4

Teme parabole (ekstremna vrednost). Pošto je $a = \frac{1}{4} > 0 ,$ funkcija ima minimum. Koordinate temena $T(x_T, y_T)$ računamo po formulama $x_T = -\frac{b}{2a}$ i $y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} .$

x_T = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 0

Računamo y-koordinatu temena.

y_T = \frac{4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-4) - 0^2}{4 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{-4}{1} = -4

Teme parabole se nalazi u tački:

T(0, -4)

Znak funkcije. Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna, odnosno negativna. Funkciju možemo zapisati u faktorisanoj formi.

y = \frac{1}{4}(x-4)(x+4)

x \in (-\infty, -4)

x \in (-4, 4)

x \in (4, +\infty)

x+4

-

+

+

x-4

-

-

+

y

+

-

+

Monotonost funkcije. Na osnovu x-koordinate temena ( $x_T = 0$ ) i znaka koeficijenta $a > 0 ,$ funkcija opada do temena, a zatim raste.

\begin{aligned} &y \searrow \text{ za } x \in (-\infty, 0) \\ &y \nearrow \text{ za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Grafik funkcije. Na osnovu dobijenih podataka (nule u tačkama $(-4, 0)$ i $(4, 0) ,$ teme i presek sa y-osom u tački $(0, -4)$ ), možemo skicirati grafik funkcije. Parabola je okrenuta otvorom nagore jer je $a > 0 .$

Započni učenje

Privatni časovi

255.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci