Ispitivanje kvadratne funkcije: y = x kvadrat - 2x + 3

Funkcija je polinom drugog stepena (kvadratna funkcija), pa je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3

Tražimo nule funkcije, odnosno preseke sa x-osom, rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 - 2x + 3 = 0 .$ Prvo računamo diskriminantu.

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3

Sređujemo izraz za diskriminantu.

D = 4 - 12 = -8

Pošto je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ), jednačina nema realnih rešenja. To znači da grafik funkcije ne seče x-osu.

x \notin \mathbb{R}

Svodimo kvadratnu funkciju na kanonski oblik dopunom do potpunog kvadrata kako bismo odredili teme.

y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2

Iz kanonskog oblika $y = a(x - x_T)^2 + y_T$ direktno očitavamo koordinate temena parabole. Kako je $a = 1 > 0 ,$ funkcija u temenu ima minimum.

T(1, 2)

Znak funkcije možemo potvrditi i iz kanonskog oblika. Pošto je kvadrat binoma uvek nenegativan ( $(x - 1)^2 \ge 0$ ), cela funkcija je uvek pozitivna.

y = (x - 1)^2 + 2 \ge 2 > 0 \implies y > 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Određujemo monotonost funkcije. Parabola sa pozitivnim vodećim koeficijentom opada do x-koordinate temena, a zatim raste.

\begin{aligned} &y \searrow \text{za } x \in (-\infty, 1) \\ &y \nearrow \text{za } x \in (1, +\infty) \end{aligned}

Kvadratna funkcija sa pozitivnim vodećim koeficijentom ( $a = 1 > 0$ ) je konveksna (okrenuta na gore) na celom domenu.

\text{Funkcija je konveksna (}\cup\text{) za svako } x \in \mathbb{R}

Za skiciranje grafika koristimo sve dobijene podatke: teme je u tački $(1, 2) ,$ presek sa y-osom je u $(0, 3) ,$ funkcija nema preseke sa x-osom i okrenuta je na gore.

Započni učenje

Privatni časovi

267.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci