1647.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkciju i skicirati grafik: y=x2−2x+3 y = x^2 - 2x + 3 ;

REŠENJE ZADATKA

Funkcija je polinom drugog stepena (kvadratna funkcija), pa je definisana za sve realne brojeve.

D=Rodnosnox∈(−∞,+∞)D = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y(0)=02−2⋅0+3=3y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3

Tražimo nule funkcije, odnosno preseke sa x-osom, rešavanjem kvadratne jednačine x2−2x+3=0. x^2 - 2x + 3 = 0 . Prvo računamo diskriminantu.

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅3D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3

Sređujemo izraz za diskriminantu.

D=4−12=−8D = 4 - 12 = -8

Pošto je diskriminanta manja od nule (D<0 D < 0 ), jednačina nema realnih rešenja. To znači da grafik funkcije ne seče x-osu.

x∉Rx \notin \mathbb{R}

Svodimo kvadratnu funkciju na kanonski oblik dopunom do potpunog kvadrata kako bismo odredili teme.

y=(x2−2x+1)+2=(x−1)2+2y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2

Iz kanonskog oblika y=a(x−xT)2+yT y = a(x - x_T)^2 + y_T direktno očitavamo koordinate temena parabole. Kako je a=1>0, a = 1 > 0 , funkcija u temenu ima minimum.

T(1,2)T(1, 2)

Znak funkcije možemo potvrditi i iz kanonskog oblika. Pošto je kvadrat binoma uvek nenegativan ((x−1)2≥0 (x - 1)^2 \ge 0 ), cela funkcija je uvek pozitivna.

y=(x−1)2+2≥2>0  ⟹  y>0za svako x∈Ry = (x - 1)^2 + 2 \ge 2 > 0 \implies y > 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Određujemo monotonost funkcije. Parabola sa pozitivnim vodećim koeficijentom opada do x-koordinate temena, a zatim raste.

y↘za x∈(−∞,1)y↗za x∈(1,+∞)\begin{aligned} &y \searrow \text{za } x \in (-\infty, 1) \\ &y \nearrow \text{za } x \in (1, +\infty) \end{aligned}

Kvadratna funkcija sa pozitivnim vodećim koeficijentom (a=1>0 a = 1 > 0 ) je konveksna (okrenuta na gore) na celom domenu.

Funkcija je konveksna (∪) za svako x∈R\text{Funkcija je konveksna (}\cup\text{) za svako } x \in \mathbb{R}

Za skiciranje grafika koristimo sve dobijene podatke: teme je u tački (1,2), (1, 2) , presek sa y-osom je u (0,3), (0, 3) , funkcija nema preseke sa x-osom i okrenuta je na gore.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti