Grafik parabole y = −2x na 2 + 4x − 3

Data je kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c .$ Prvo određujemo njene koeficijente.

a = -2, \quad b = 4, \quad c = -3

Domen kvadratne funkcije je skup svih realnih brojeva.

D = \mathbb{R} \quad \text{ili} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y = -2(0)^2 + 4(0) - 3 = -3

Tačka preseka sa y-osom je:

Y(0, -3)

Određujemo nule funkcije (preseke sa x-osom) rešavanjem kvadratne jednačine $-2x^2 + 4x - 3 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8

Pošto je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ), kvadratna jednačina nema realna rešenja, što znači da grafik funkcije ne seče x-osu.

D < 0 \implies x \notin \mathbb{R}

Određujemo koordinate temena parabole $T(x_T, y_T) .$ X-koordinata temena se računa po formuli:

x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1

Y-koordinatu temena možemo izračunati zamenom $x_T$ u funkciju ili po formuli $y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} .$

y_T = -2(1)^2 + 4(1) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1

Pošto je $a = -2 < 0 ,$ parabola je okrenuta nadole i funkcija ima maksimum u temenu.

T_{max}(1, -1)

Zapisujemo funkciju u kanonskom obliku $y = a(x - x_T)^2 + y_T .$

y = -2(x - 1)^2 - 1

Analiziramo znak funkcije. Kako je $a < 0$ i $D < 0 ,$ funkcija je negativna za sve realne vrednosti $x .$

y < 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Određujemo intervale monotonosti (rašćenja i opadanja). Funkcija raste do temena, a zatim opada.

\begin{aligned} &y \nearrow \text{za } x \in (-\infty, 1) \\ &y \searrow \text{za } x \in (1, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu dobijenih podataka (teme $T(1, -1) ,$ presek sa y-osom $(0, -3) ,$ okrenutost nadole i odsustvo preseka sa x-osom) možemo skicirati grafik funkcije.

Započni učenje

Privatni časovi

267.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci