Ispitivanje kvadratne funkcije: y = -x kvadrat + 2x + 3

Domen funkcije: Kako je data funkcija polinom drugog stepena, ona je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom dobijamo kada zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3

Nule funkcije (preseci sa x-osom) su rešenja kvadratne jednačine $y = 0 .$

-x^2 + 2x + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)}

Računamo vrednosti pod korenom.

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm 4}{-2}

Dobijamo dve nule funkcije:

x_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3

Ekstremna vrednost (teme parabole): Pošto je koeficijent uz kvadratni član $a = -1 < 0 ,$ funkcija ima maksimum. x-koordinatu temena računamo po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1

y-koordinatu temena dobijamo zamenom $x_T$ u funkciju (ili preko formule $\frac{4ac - b^2}{4a}$ ).

y_T = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 4

Teme parabole je tačka $T(x_T, y_T) .$

T(1, 4)

Znak funkcije: Parabola je okrenuta nadole ( $a < 0$ ) i seče x-osu u $x = -1$ i $x = 3 .$

y > 0 \text{ za } x \in (-1, 3), \quad y < 0 \text{ za } x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 3)

x \in (3, +\infty)

y

-

+

-

Monotonost funkcije: Funkcija raste do x-koordinate temena, a zatim opada.

y \nearrow \text{ za } x \in (-\infty, 1), \quad y \searrow \text{ za } x \in (1, +\infty)

Na osnovu svih ispitanih svojstava, grafik je parabola okrenuta nadole sa temenom u $T(1, 4) ,$ koja seče x-osu u tačkama $(-1, 0)$ i $(3, 0) ,$ a y-osu u tački $(0, 3) .$

Započni učenje

Privatni časovi

266.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci