Ispitivanje kvadratne funkcije: y = x kvadrat - 4x + 3

Domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom drugog stepena, funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D: x \in \mathbb{R}

Presek sa y-osom. Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3

Tačka preseka sa y-osom je $(0, 3) .$

Nule funkcije (preseci sa x-osom). Rešavamo kvadratnu jednačinu $x^2 - 4x + 3 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednosti pod korenom.

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

Nule funkcije su $x_1 = 1$ i $x_2 = 3 .$ Tačke preseka sa x-osom su $(1, 0)$ i $(3, 0) .$

Teme parabole (ekstremna vrednost). Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), funkcija ima minimum. X-koordinata temena se računa po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

Y-koordinata temena se dobija zamenom $x_T$ u jednačinu funkcije.

y_T = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Teme parabole je tačka $T(2, -1) .$

Znak funkcije. Kvadratna funkcija menja znak u nulama. Pošto je parabola okrenuta nagore, funkcija je pozitivna van nula, a negativna između njih.

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 3)

x \in (3, +\infty)

x^2 - 4x + 3

+

-

+

Monotonost funkcije. Funkcija opada do temena, a raste nakon temena.

y \searrow \text{za } x \in (-\infty, 2), \quad y \nearrow \text{za } x \in (2, +\infty)

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik funkcije je parabola okrenuta nagore, sa temenom u $(2, -1) ,$ koja seče x-osu u tačkama $(1, 0)$ i $(3, 0) ,$ a y-osu u tački $(0, 3) .$

Započni učenje

Privatni časovi

266.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci