Ispitivanje kvadratne funkcije: y = -x kvadrat + 4x - 2

Zadata je kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c .$ Određujemo koeficijente $a ,$ $b$ i $c .$

a = -1, \quad b = 4, \quad c = -2

Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom. Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

y(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 - 2 = -2

Nule funkcije (preseci sa x-osom). Rešavamo kvadratnu jednačinu $-x^2 + 4x - 2 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-2)}}{2(-1)}

Sređujemo izraz pod korenom i računamo nule.

x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{-2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{-2} = 2 \pm \sqrt{2}

Svodimo funkciju na kanonski oblik $y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$ kako bismo odredili teme.

y = -1 \cdot \left(x + \frac{4}{2(-1)}\right)^2 + \frac{4(-1)(-2) - 4^2}{4(-1)} = -(x - 2)^2 + 2

Iz kanonskog oblika očitavamo koordinate temena $T(x_T, y_T) .$ Pošto je $a = -1 < 0 ,$ funkcija ima maksimum.

T(2, 2), \quad y_{\max} = 2

Osa simetrije parabole je prava koja prolazi kroz x-koordinatu temena.

x = 2

Monotonost funkcije. Parabola je okrenuta nadole, pa funkcija raste do temena, a zatim opada.

y \nearrow \text{ za } x \in (-\infty, 2), \quad y \searrow \text{ za } x \in (2, +\infty)

Znak funkcije. Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna, odnosno negativna, na osnovu nula funkcije i znaka koeficijenta $a .$

x \in (-\infty, 2-\sqrt{2})

x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})

x \in (2+\sqrt{2}, +\infty)

y

-

+

-

Skiciranje grafika. Na osnovu dobijenih tačaka (teme $T(2, 2) ,$ nule $x_1 \approx 0.59 ,$ $x_2 \approx 3.41 ,$ presek sa y-osom $(0, -2)$ ) i osobina (monotonost, znak), crtamo parabolu okrenutu nadole.

Započni učenje

Privatni časovi

267.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci