Podeli

1657.
Kvadratna funkcija

REŠENJE ZADATKA

Određujemo koeficijente kvadratne funkcije $y = ax^2 + bx + c .$

a = -2, \quad b = -8, \quad c = -8

Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} \iff x \in (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom. Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

y = -2(0)^2 - 8(0) - 8 = -8

Nule funkcije. Rešavamo kvadratnu jednačinu $-2x^2 - 8x - 8 = 0 .$

\begin{aligned} -2x^2 - 8x - 8 &= 0 \\ -2(x^2 + 4x + 4) &= 0 \\ -2(x + 2)^2 &= 0 \\ x_1 = x_2 &= -2 \end{aligned}

Teme parabole. Pošto je $a < 0 ,$ funkcija ima maksimum. Računamo koordinate temena $T(x_T, y_T) .$

\begin{aligned} x_T &= -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-2)} = -2 \\ y_T &= f(-2) = -2(-2)^2 - 8(-2) - 8 = 0 \end{aligned}

Osa simetrije je prava u odnosu na koju je parabola simetrična i prolazi kroz teme.

x = -2

Monotonost. Pošto je $a < 0 ,$ funkcija raste do temena, a zatim opada.

\begin{aligned} &y \nearrow \text{ za } x \in (-\infty, -2) \\ &y \searrow \text{ za } x \in (-2, +\infty) \end{aligned}

Kanonski oblik kvadratne funkcije dobijamo koristeći formulu $y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$ ili direktno iz temena.

y = -2(x + 2)^2

Znak funkcije. Analiziramo znak na osnovu kanonskog oblika.

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, +\infty)

-2

-

-

(x+2)^2

+

+

y

-

-

Zaključujemo da je funkcija negativna za sve vrednosti osim u temenu gde je jednaka nuli.

y < 0 \text{ za } x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}

Skiciranje grafika. Parabola je okrenuta nadole ( $a < 0$ ), teme i jedina nula je u tački $(-2, 0) ,$ a y-osu seče u $(0, -8) .$

1657.Kvadratna funkcija