Grafik parabole y = 2x na 2 − 5x + 4

Data je kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c .$ Prvo identifikujemo koeficijente.

a = 2, \quad b = -5, \quad c = 4

**1. Domen funkcije:** Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

**2. Presek sa y-osom:** Dobijamo ga kada zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = 2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4

Tačka preseka sa y-osom je $(0, 4) .$

**3. Nule funkcije (presek sa x-osom):** Rešavamo kvadratnu jednačinu $2x^2 - 5x + 4 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7

Kako je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ), kvadratna jednačina nema realna rešenja. Funkcija ne seče x-osu.

**4. Znak funkcije:** Pošto je $a = 2 > 0$ i $D < 0 ,$ funkcija je pozitivna za sve realne vrednosti $x .$

y > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

**5. Ekstremna vrednost (Teme parabole):** Teme parabole $T(x_T, y_T)$ računamo pomoću formula za kanonski oblik.

x_T = -\frac{b}{2a}, \quad y_T = \frac{4ac - b^2}{4a}

Računamo x-koordinatu temena:

x_T = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}

Računamo y-koordinatu temena:

y_T = \frac{4 \cdot 2 \cdot 4 - (-5)^2}{4 \cdot 2} = \frac{32 - 25}{8} = \frac{7}{8}

Pošto je $a > 0 ,$ parabola je okrenuta nagore i funkcija ima minimum u temenu.

T_{min}\left(\frac{5}{4}, \frac{7}{8}\right)

**6. Monotonost funkcije:** Na osnovu temena i znaka koeficijenta $a ,$ određujemo intervale rašćenja i opadanja.

\begin{aligned} &y \downarrow \text{ za } x \in \left(-\infty, \frac{5}{4}\right) \\ &y \uparrow \text{ za } x \in \left(\frac{5}{4}, +\infty\right) \end{aligned}

**7. Kanonski oblik:** Zapisujemo funkciju u kanonskom obliku $y = a(x - x_T)^2 + y_T .$

y = 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{7}{8}

**8. Skiciranje grafika:** Parabola je okrenuta nagore, teme joj je u tački $(\frac{5}{4}, \frac{7}{8}) ,$ seče y-osu u tački $(0, 4)$ i nalazi se u potpunosti iznad x-ose pošto nema realne nule.

Započni učenje

Privatni časovi

267.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci