Data je kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c. Prvo identifikujemo koeficijente.
a=2,b=−5,c=4
**1. Domen funkcije:** Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.
Df=Rodnosnox∈(−∞,+∞)
**2. Presek sa y-osom:** Dobijamo ga kada zamenimo x=0 u jednačinu funkcije.
y(0)=2⋅02−5⋅0+4=4
Tačka preseka sa y-osom je (0,4).
**3. Nule funkcije (presek sa x-osom):** Rešavamo kvadratnu jednačinu 2x2−5x+4=0.
x1,2=2a−b±b2−4ac
Računamo diskriminantu D=b2−4ac.
D=(−5)2−4⋅2⋅4=25−32=−7
Kako je diskriminanta manja od nule (D<0), kvadratna jednačina nema realna rešenja. Funkcija ne seče x-osu.
**4. Znak funkcije:** Pošto je a=2>0 i D<0, funkcija je pozitivna za sve realne vrednosti x.
y>0,∀x∈R
**5. Ekstremna vrednost (Teme parabole):** Teme parabole T(xT,yT) računamo pomoću formula za kanonski oblik.
xT=−2ab,yT=4a4ac−b2
Računamo x-koordinatu temena:
xT=−2⋅2−5=45
Računamo y-koordinatu temena:
yT=4⋅24⋅2⋅4−(−5)2=832−25=87
Pošto je a>0, parabola je okrenuta nagore i funkcija ima minimum u temenu.
Tmin(45,87)
**6. Monotonost funkcije:** Na osnovu temena i znaka koeficijenta a, određujemo intervale rašćenja i opadanja.
y↓ za x∈(−∞,45)y↑ za x∈(45,+∞)
**7. Kanonski oblik:** Zapisujemo funkciju u kanonskom obliku y=a(x−xT)2+yT.
y=2(x−45)2+87
**8. Skiciranje grafika:** Parabola je okrenuta nagore, teme joj je u tački (45,87), seče y-osu u tački (0,4) i nalazi se u potpunosti iznad x-ose pošto nema realne nule.