Ispitivanje kvadratne funkcije: y = 2x kvadrat - x + 1

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom, funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R}

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $2x^2 - x + 1 = 0 .$ Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7

Pošto je diskriminanta manja od nule, jednačina nema realnih rešenja, pa funkcija nema nule (grafik ne seče x-osu).

x_{1,2} \notin \mathbb{R}

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo $x = 0$ u jednačinu funkcije:

y(0) = 2 \cdot 0^2 - 0 + 1 = 1

Grafik seče y-osu u tački $(0, 1) .$

Određujemo koordinate temena parabole $T(\alpha, \beta) .$ Prvo računamo x-koordinatu temena:

\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}

Zatim računamo y-koordinatu temena:

\beta = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 1 - (-1)^2}{4 \cdot 2} = \frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8}

Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan ( $a = 2 > 0$ ), funkcija ima minimum u temenu:

T\left(\frac{1}{4}, \frac{7}{8}\right)

Određujemo znak funkcije. Kako je $a > 0$ i diskriminanta $D < 0 ,$ funkcija je pozitivna za sve realne brojeve.

y > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Određujemo monotonost funkcije. Funkcija opada na intervalu do x-koordinate temena, a raste nakon nje.

y \searrow \text{ za } x \in \left(-\infty, \frac{1}{4}\right), \quad y \nearrow \text{ za } x \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)

Na osnovu dobijenih podataka (teme, presek sa y-osom, znak i monotonost) možemo skicirati grafik funkcije, koji predstavlja parabolu okrenutu otvorom nagore, smeštenu iznad x-ose.

Započni učenje

Privatni časovi

266.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci