1629. Kvadratna funkcija

Određujemo koeficijente kvadratne funkcije oblika $y = ax^2 + bx + c .$

a = -\frac{1}{3}, \quad b = -2, \quad c = -6

Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom dobijamo zamenom $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 6 = -6

Nule funkcije (preseci sa x-osom) dobijaju se rešavanjem jednačine $y = 0 .$

-\frac{1}{3}x^2 - 2x - 6 = 0 \quad / \cdot (-3) \implies x^2 + 6x + 18 = 0

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ za dobijenu kvadratnu jednačinu.

D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 - 72 = -36

Pošto je $D < 0 ,$ jednačina nema realna rešenja, što znači da grafik funkcije ne seče x-osu.

x_{1,2} \notin \mathbb{R}

Teme parabole $T(x_T, y_T)$ predstavlja ekstremnu vrednost funkcije. Računamo x-koordinatu temena po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{-2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = -\frac{-2}{-\frac{2}{3}} = -3

Računamo y-koordinatu temena zamenom $x_T = -3$ u jednačinu funkcije.

y_T = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 2(-3) - 6 = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 - 6 = -3

Pošto je koeficijent $a = -\frac{1}{3} < 0 ,$ parabola je okrenuta otvorom nadole i teme $T(-3, -3)$ predstavlja maksimum funkcije.

y_{\max} = -3 \quad \text{za} \quad x = -3

Osa simetrije parabole je prava koja prolazi kroz teme.

x = -3

Monotonost funkcije. Funkcija raste do temena, a opada nakon temena.

\begin{aligned} &y \nearrow \text{za } x \in (-\infty, -3) \\ &y \searrow \text{za } x \in (-3, +\infty) \end{aligned}

Znak funkcije. Pošto je $a < 0$ i $D < 0 ,$ funkcija je negativna za sve vrednosti $x .$

y < 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Kodomen (skup vrednosti) funkcije. Pošto funkcija ima maksimum u temenu, vrednosti idu od minus beskonačnosti do y-koordinate temena.

y \in (-\infty, -3]

266.g