Geometrijsko mesto minimuma: y = x kvadrat − 2

Kvadratna funkcija je oblika $f(x) = ax^2 + bx + c .$ Na osnovu date funkcije, određujemo koeficijente:

a = 1, \quad b = -2(m + 1), \quad c = 2m(m + 2) = 2m^2 + 4m

Pošto je $a = 1 > 0 ,$ funkcija ima minimum. Koordinate temena (minimuma) kvadratne funkcije računamo po formulama:

x_m = -\frac{b}{2a}, \quad y_m = \frac{4ac - b^2}{4a}

Računamo x-koordinatu minimuma:

x_m = -\frac{-2(m + 1)}{2 \cdot 1} = m + 1

Računamo y-koordinatu minimuma:

y_m = \frac{4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 4m) - (-2(m + 1))^2}{4 \cdot 1} = \frac{8m^2 + 16m - 4(m^2 + 2m + 1)}{4}

Sređujemo izraz za y-koordinatu:

y_m = \frac{8m^2 + 16m - 4m^2 - 8m - 4}{4} = \frac{4m^2 + 8m - 4}{4} = m^2 + 2m - 1

Koordinate minimuma u zavisnosti od parametra $m$ su:

x = m + 1, \quad y = m^2 + 2m - 1

Da bismo našli geometrijsko mesto tačaka, potrebno je da eliminišemo parametar $m .$ Iz prve jednačine izražavamo $m :$

m = x - 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za $m$ u jednačinu za $y :$

y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) - 1

Sređujemo jednačinu kako bismo dobili konačan oblik:

y = x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 - 1 = x^2 - 2

Geometrijsko mesto minimuma datih funkcija je parabola:

y = x^2 - 2

278.a